Часть II

Новая физика, необходимая для понимания разума. В поисках невычислительной физики разума

...

Приложение C: Ортогональность общих спиновых состояний

Предложенное Майораной обобщенное описание спиновых состояний не пользуется широкой известностью среди физиков, хотя оно весьма удобно и геометрически наглядно. Я расскажу здесь вкратце об основных формулах и о некоторых их геометрических приложениях. Мы, в частности, получим необходимые для рассуждения в §5.18 отношения ортогональности, определяющие геометрию магических додекаэдров. Мои описания существенно отличаются от тех, что первоначально сформулировал Майорана [252], приближаясь, скорее, к описаниям, данным в [299] и [396].

Идея заключается в том, что берется неупорядоченное множество из п точек на сфере Римана, каковые точки рассматриваются как корни комплексного полинома степени n, коэффициенты которого, в свою очередь, используются в качестве координат (n + 1)-мерного гильбертова пространства спиновых состояний (массивной) частицы со спином 1/2 n. Как и в §5.10, основными состояниями будем считать различные возможные результаты измерения спина в вертикальном направлении; представим эти состояния в виде одночленов (добавив соответствующие нормирующие множители, чтобы сохранить единичную длину векторов состояний):

|↑↑↑↑…↑↑〉 — xn

|↓↑↑↑…↑↑〉 — n1/2xn-1

|↓↓↑↑…↑↑〉 — {n(n — 1)/2!}1/2xn-2

|↓↓↓↑…↑↑〉 — {n(n — 1)(n — 2)/3!}1/2xn-3

…

|↓↓↓↓…↓↑〉 — n1/2x

|↓↓↓↓…↓↓〉 — 1.


(Выражения в фигурных скобках — биномиальные коэффициенты.) Таким образом, общее состояние спина 1/2 n,

z0|↑↑↑…↑↑〉 + z1|↓↑↑…↑↑〉 + z2|↓↓↑…↑↑〉 + z3|↓↓↓…↑↑〉 + … + zn|↓↓↓…↓↓〉,


представляется в виде полинома

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn,


где

a0 = z0, a1 = n1/2z1, a2 = {n(n — 1)/2!}1/2z2, … an = zn.


Корням x = α1, α2, α3, …, αn полинома p(x) = 0 соответствуют n точек на сфере Римана, определяющие описание Майораны. Допускается и майоранова точка, задаваемая корнем x = ∞, — южный полюс сферы, — это происходит, когда степень полинома P(x) оказывается меньше n на величину, определяемую кратностью этой точки.

Вращение сферы осуществляется посредством следующего преобразования: сначала выполняем замену

x ↦ (λx — μ)(λ'x + μ')—1


(где λλ' + μμ' = 1), а затем избавляемся от знаменателей, умножив все выражение на (μ'x + λ')n. Таким образом, можно получить полиномы, соответствующие результатам измерений (скажем, с помощью установки Штерна—Герлаха) спина в произвольно выбранном направлении, что дает выражения вида

c(λx — μ)p(λ'x + μ')n — p.


Точки, задаваемые отношениями μ/λ и —μ'/λ', являются антиподальными на сфере Римана и соответствуют направлению измерения спина и направлению, противоположному ему. (Это предполагает некий подходящий выбор фаз для состояний |↑↑↑…↑〉, |↓↑↑…↑〉, |↓↓↑…↑〉, …, |↓↓↓…↓〉. Вышеупомянутые свойства и их детальные обоснования удобнее всего рассматривать в терминах 2-спинорного формализма. За подробностями отсылаю читателя к [301], с. 162 и §4.15. Общее состояние спина 1/2 n описывается там через симметрический n-валентный спинор, при этом майораново описание выводится из канонического разложения спинора на симметризованное произведение спиновых векторов.)

Для любой точки α на сфере Римана антиподальной является точка —1/α'. Таким образом, если отразить все майорановы точки, являющиеся корнями полинома

a(x) ≡ a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + an — 1xn — 1 + anxn,


относительно центра сферы, то мы получим корни полинома

a*(x) ≡ a'n — a'n - 1x + a'n - 2x2 - … — (—1)na'1xn-1 + (—1)na'0xn.


Пусть состояния |α〉 и |β〉 заданы, соответственно, полиномами a(x) и b(x), где

b(x) ≡ b0 + b1x + b2x2 + b3x3 + … + bn — 1xn — 1 + bnxn;


тогда их скалярное произведение имеет вид

〈β|α〉 = b'0a0 + (1/n)b'1a1 + (2!/n(n — 1))b'2a2 + (3!/n(n — 1)(n — 2))b'3a3 + … + b'nan.


Это выражение инвариантно относительно вращений сферы, что можно непосредственно доказать, используя вышеприведенные формулы.

Применим полученное выражение для скалярного произведения к конкретному случаю b(x) = a*(x), т.е. к случаю двух состояний, майораново описание одного из которых состоит исключительно из точек, антиподальных точкам, составляющим майораново описание другого. Их скалярное произведение равно (с точностью до знака)

a0an — (1/n)a1an - 1 + (2!/n(n -1))a2an - 2 - … — (—1)n(1/n)an — 1a1 + (—1)nana0.


Нетрудно заметить, что при отрицательном n все члены выражения взаимно уничтожаются, а значит, можно сформулировать следующую теорему (напомним, что состояние, майораново описание которого имеет вид, скажем, P, Q, …, S, обозначается через |PQ…S〉; точка, антиподальная X, обозначается X*):

C.1 Если n нечетно, то состояние |PQR…T〉 ортогонально состоянию |P*Q*R*…T*〉.


Из общего выражения для скалярного произведения можно вывести еще два свойства:

C.2 Состояние |PPP…P〉 ортогонально любому из состояний |P*AB…D).


C.3 Состояние |QPP…P〉 ортогонально состоянию |ABC…E〉 в тех случаях, когда стереографическая проекция (из P*) точки Q* совпадает с центром тяжести множества стереографических проекций (из P*) точек A, B, C, …, E.


(Центром тяжести множества точек называют центр тяжести совокупности равных точечных масс, размещенных в этих точках. О стереографических проекциях мы говорили в §5.10, рис. 5.19.) Для доказательства C.3 развернем сферу так, чтобы точка P* стала ее южным полюсом. Тогда состоянию |QPP…P〉 соответствует полином xn — 1(x - χ), где χ определяет точку Q на сфере Римана. Вычислив скалярное произведение этого состояния с состоянием, представленным полиномом (x - α1)(x - α2)(x - α3)…(x - αn), майораново описание которого составляют корни α1, α2, α3, …, αn, находим, что это произведение обращается в нуль, когда

1 + n—1χ'(α1 + α2 + α3 + … + αn) = 0,


т.е. когда —1/χ' равно (α1 + α2 + α3 + … + αn)/n, иначе говоря, когда точка —1/χ' является центром тяжести (на комплексной плоскости) множества точек α1, α2, α3, …, αn. Что и доказывает свойство C.3. Для того чтобы доказать C.2, поместим в южный полюс точку P. Тогда состоянию |PPP…P〉 соответствует постоянная величина, 1. Если рассматривать ее как полином степени n, то соответствующее скалярное произведение обращается в нуль, когда

α1α2α3…αn = 0,


т.е. когда хотя бы одна точка из множества α1, α2, α3, …, αn равна 0 или, что то же самое, совпадает с северным полюсом сферы — в данном случае, с точкой P*. Что, собственно, и требовалось доказать.

Свойство C.2 позволяет интерпретировать майорановы точки в физическом смысле. Исходя из него, можно предположить, что эти точки определяют направления, измерение (типа измерения Штерна—Герлаха) спина в которых дает нулевую вероятность того, что полученное в результате измерения направление оси спина окажется диаметрально противоположным тому направлению, в котором это измерение выполнялось (см. НРК, с. 273). Кроме того, из C.2 можно вывести свойство для частного случая: если спин равен 1/2 (n = 1), то ортогональными являются исключительно те состояния, майорановы точки которых антиподальны. Свойство C.3 позволяет получить общую геометрическую интерпретацию ортогональности в случае спина 1 (n = 2). Примечателен частный случай, когда имеются два состояния, представленные в виде двух пар антиподальных точек, причем прямые, соединяющие эти точки, пересекаются в центре сферы под прямым углом. В случае спина 3/2 (n = 3) свойства C.3 (с некоторой оглядкой на C.1) вполне достаточно для подкрепления объяснений, предложенных в §5.18. (Геометрическую интерпретацию ортогональности в общем случае я здесь давать не буду; может быть, как-нибудь в другой раз.)

Упоминаемое в §5.18 частное следствие из C.3 относится к частному случаю, когда P и Q являются соседними вершинами куба, вписанного в сферу Римана, т.е. PQ и Q*P* — противоположные ребра этого куба. Длина отрезка PQ* (или QP*) равна длине PQ (или P*Q*), умноженной на √2. Посредством несложных геометрических рассуждений можно показать, что состояния |P*PP〉 и |Q*QQ〉 ортогональны.