Часть I

Почему для понимания разума необходима новая физика?. Невычислимость сознательного мышления

3. О невычислимости в математическом мышлении

3.13. Механизмы математического поведения робота

Рассмотрим различные механизмы, лежащие в основе процедур, управляющих поведением робота в процессе получения им ☆-утверждений. Некоторые из этих процедур являются по отношению к роботу внутренними — нисходящие внутренние ограничители, встроенные в модель функционирования робота, а также те или иные заранее определенные восходящие процедуры, посредством которых робот улучшает качество своей работы (с тем, чтобы постепенно достичь ☆-уровня). Разумеется, мы полагаем, что все эти процедуры в принципе познаваемы человеком (хотя окончательный результат совокупного действия всех этих разнообразных факторов вполне может оказаться за пределами вычислительных способностей математика-человека). В самом деле, если мы допускаем, что человеческие существа в один прекрасный день сконструируют робота, наделенного подлинным математическим талантом, то следует непременно допустить и то, что человек способен понять внутренние принципы, в соответствии с которыми будет построен этот робот, иначе любое подобное начинание обречено на провал.

Безусловно, мы отдаем себе отчет в том, что создание такого робота вполне может оказаться многоступенчатым процессом: иначе говоря, возможно, что наш робот-математик будет целиком и полностью построен какими-либо роботами «низшего порядка» (которые сами не способны на подлинно математическую деятельность), а эти роботы, в свою очередь, построены другими роботами еще более низкого порядка. Однако запущена в производство вся эта иерархическая цепочка будет все равно человеком, и исходные правила ее построения (по всей видимости, некая комбинация нисходящих и восходящих процедур) будут в любом случае доступны человеческому пониманию.

Существенно важными для процесса развития робота являются и всевозможные внешние факторы, привносимые окружением. Внешний мир и в самом деле может обеспечить нашего робота весьма значительным объемом вводимых данных, поступающих как от учителей-людей (или роботов), так и из наблюдений за естественным физическим окружением. Что до естественных внешних факторов, привносимых «безлюдным» окружением, то «непознаваемыми» их, как правило, не считают. Эти факторы могут быть очень сложными, часто они взаимодействуют между собой, и все же эффективное «виртуально-реальное» моделирование существенных аспектов нашего окружения уже вполне осуществимо (см. §1.20). По-видимому, ничто не мешает модифицировать эти модели таким образом, чтобы робот с их помощью получал все, что ему нужно для развития в смысле внешних естественных факторов, — не будем забывать, что вполне достаточно смоделировать типичное окружение, воспроизводить какое-то реально существующее необходимости нет (см. §§1.7, 1.9).

Вмешательство в процесс людей (или роботов) — т.е. внешних, «искусственных» факторов — может происходить на различных этапах, однако это никоим образом не влияет на существенную познаваемость механизмов этого вмешательства, при условии, разумеется, что мы допускаем возможность каким-то познаваемым образом «механизировать» вмешательство человека. Справедливо ли такое допущение? Думаю, вполне естественно (по крайней мере, для сторонника точки зрения A или B) предположить, что любое человеческое вмешательство в процесс развития робота и в самом деле можно заменить какими-либо целиком и полностью вычислительными процедурами. Мы же не требуем, чтобы в этом вмешательстве непременно присутствовало что-либо непостижимо мистическое — скажем, некая неопределимая «сущность», какую учитель-человек должен передать своему ученику-роботу в процессе обучения. Мы полагаем, что при обучении роботу необходимо получать всего лишь те или иные фундаментальные сведения, а передачу ему этих сведений проще всего поручить именно человеку. Весьма вероятно, что, как и в случае с учениками-людьми, наиболее эффективной будет передача информации в интерактивной форме, когда поведение учителя зависит от реакции ученика. Однако и это обстоятельство, само по себе, отнюдь не исключает возможности эффективно вычислительного поведения учителя. В конце концов, все наши рассуждения в настоящей главе представляют собой одно сплошное reductio ad absurdum, в рамках которого мы допускаем, что в поведении человеческих существ вообще нет ничего существенно невычислимого. А тем, кто уже и так придерживается точек зрения C или D (последние, несомненно, склонны скорее поверить в возможность существования упомянутой выше невычислимой «сущности», передаваемой роботу в силу одного лишь человеческого происхождения учителя), наши доказательства в любом случае совершенно не нужны.

Если рассматривать все эти механизмы (т.е. внутренние вычислительные процедуры и данные, поступающие от интерактивного внешнего окружения) в совокупности, то создается впечатление, что нет каких-либо разумных причин полагать их принципиально непознаваемыми, — даже если кто-то и настаивает на том, что на практике в точности просчитать результирующие проявления внешних из упомянутых механизмов не в силах человеческих (и даже не в силах любого из существующих или предвидимых в обозримом будущем компьютеров). К вопросу о познаваемости вычислительных механизмов мы еще вернемся, причем довольно скоро (в конце §3.15). А пока допустим, что все эти механизмы действительно познаваемы, и обозначим набор таких механизмов буквой M. Возможно ли, что некоторые из полученных с помощью этих механизмов утверждений ☆-уровня окажутся, тем не менее, непознаваемыми для человека? Обоснованно ли такое предположение? Вообще говоря, нет — при условии, что в данном контексте мы продолжаем интерпретировать понятие «познаваемости» в том же принципиальном смысле, который мы применяли в отношении случаев I и II и который был исчерпывающе определен в начале §3.5. Тот факт, что нечто (например, формулировка некоего ☆-утверждения) может оказаться за пределами невооруженных вычислительных способностей человеческого существа, к данному случаю отношения не имеет. Ничуть не возбраняется и «вооружить» человека теми или иными средствами содействия мыслительным процессам — например, карандашом и бумагой, карманным калькулятором либо универсальным компьютером в комплекте с программным обеспечением нисходящего типа. Даже если добавить к уже имеющимся вычислительным процедурам какие-либо восходящие компоненты, то мы не получим ничего такого, чего не могли бы в принципе получить раньше — при условии, разумеется, что лежащие в основе этих восходящих процедур фундаментальные механизмы доступны человеческому пониманию. С другой стороны, вопрос о «познаваемости» самих механизмов M следует рассматривать уже в «практическом» смысле — в полном соответствии с принятой в §3.5 терминологией. Таким образом, на данный момент мы полагаем, что механизмы M являются действительно познаваемыми практически.

Обладая знанием механизмов M, мы можем использовать их при создании фундамента для построения формальной системы Q(M), при этом теоремами такой системы станут следующие положения: (I) ☆-утверждения, непосредственно следующие из применения упомянутых механизмов, и (II) любые положения, выводимые из этих ☆-утверждений с применением правил элементарной логики. Под «элементарной логикой» здесь могут пониматься, скажем, правила исчисления предикатов (описанные в §2.9) или какая-либо иная столь же прямая и четко определенная неопровержимая система аналогичных логических правил (вычислительных). Мы вполне способны построить формальную систему Q(M) в силу того простого факта, что процедура Q(M), посредством которой из набора механизмов M получаются, одно за другим, необходимые ☆-утверждения, является процедурой вычислительной (пусть на практике и весьма громоздкой). Отметим, что определяемая таким образом процедура Q(M) будет генерировать утверждения группы (I), однако вовсе не обязательно все положения группы (II) (поскольку можно допустить, что нашему роботу, по всей вероятности, попросту надоест тупо выводить все логические следствия из вырабатываемых им ☆-теорем). Таким образом, процедура Q(M) не эквивалентна в точности формальной системе Q(M), однако различие между ними не существенно. К тому же ничто не мешает нам при желании получить из процедуры Q(M) другую процедуру — такую, например, которая будет эквивалентна Q(M).

Далее, для интерпретации формальной системы Q(M) необходимо каким-то образом устроить так, чтобы на всем протяжении развития робота статус ☆ всегда и непременно означал, что удостоенное его утверждение действительно следует полагать неопровержимо доказанным. В отсутствие поступающих от учителя-человека (неважно, в какой форме) внешних данных мы не можем быть уверенными в том, что робот не выработает самостоятельно некий отличный от нашего язык, в котором символ ☆ будет иметь совершенно иное значение (либо вовсе окажется бессмысленным). Для того чтобы определение формальной системы Q(M) на языке робота согласовывалось с нашим ее определением, необходимо в процессе обучения робота (например, учителем-человеком) проследить за тем, чтобы присваиваемое символу ☆ значение в точности соответствовало тому значению, какое в него вкладываем мы. Необходимо также проследить и за тем, чтобы система обозначений, которой робот фактически пользуется при формулировке своих, скажем, Π₁-высказываний, в точности совпадала с аналогичной системой, имеющей хождение у нас (или допускала какое-либо явное преобразование в нашу систему). Если допустить, что механизмы M познаваемы человеком, то из вышесказанного следует, что аксиомы и правила действия формальной системы Q(M) также должны быть познаваемыми. Более того, всякую теорему, выводимую в рамках системы Q(M), следует, в принципе, полагать познаваемой человеком (в том смысле, что мы в состоянии понять ее описание, а не определить в обязательном порядке ее неопровержимую истинность), даже если вычислительные процедуры, необходимые для получения большей части таких теорем, окажутся далеко за пределами невооруженных вычислительных способностей человека.