Часть I

Почему для понимания разума необходима новая физика?. Невычислимость сознательного мышления

2. Гёделевское доказательство

2.6. Возможные формальные возражения против G

 Утверждение G вполне способно потрясти воображение и не слишком впечатлительного читателя, особенно если учесть достаточно простой характер составных элементов рассуждения, из которого мы это утверждение вывели. Прежде чем перейти к рассмотрению (в главе 3) его следствий применительно к возможности создания разумного робота-математика с компьютерным разумом, необходимо очень тщательно исследовать некоторое количество формальных моментов, связанных с получением вывода G. Если подобные возможные формальные «лазейки» вас не смущают и вы готовы принять на веру утверждение G (согласно которому, напомним, математики при установлении математической истины не применяют заведомо обоснованные алгоритмы), то вы, вероятно, предпочтете пропустить (или хотя бы на некоторое время отложить) нижеследующие рассуждения и перейти непосредственно к главе 3. Более того, если вы готовы принять на веру и несколько более серьезный вывод, в соответствии с которым принципиально невозможно алгоритмически объяснить ни математическое, ни какое-либо иное понимание, то вам, возможно, стоит перейти сразу ко второй части книги — задержавшись разве что на воображаемом диалоге в §3.23 (обобщающем наиболее важные аргументы главы 3) и выводах в §3.28.

Существует несколько математических моментов, связанных с приведенным в §2.5 гёделевским доказательством, которые не дают людям покоя. Попытаемся с этими моментами разобраться.

В действительности, использование мною такой формулировки вовсе не влечет за собой потери общего характера рассуждений в целом. Любой конечный ряд A₁, A₂, A₃, …, A_r алгоритмических процедур всегда можно выразить в виде единичного алгоритма A, причем таким образом, что A окажется незавершаемым только в том случае, если не завершаются все отдельные алгоритмы A₁, …, A_r. (Процедура A может протекать, например, следующим образом: «Выполнить первые 10 шагов алгоритма A₁ запомнить результат; выполнить первые 10 шагов алгоритма A₂; запомнить результат; выполнить первые 10 шагов алгоритма A₃; запомнить результат; и так далее вплоть до A_r; затем вернуться к A₁ и выполнить следующие 10 шагов; запомнить результат и т.д.; затем перейти к третьей группе из 10 шагов и т.п. Завершить процедуру, как только завершится любой из алгоритмов A_r».) Если же ряд алгоритмов А бесконечен, то для того, чтобы его можно было считать алгоритмической процедурой, необходимо найти способ порождения всей совокупности алгоритмов A₁, A₂, A₃, … алгоритмическим путем. Тогда мы сможем получить единичный алгоритм А, который заменяет весь ряд алгоритмов и выглядит приблизительно следующим образом:

Завершается такой алгоритм лишь после успешного завершения любого алгоритма из ряда, и никак не раньше.

С другой стороны, можно представить себе ситуацию, когда ряд A₁, A₂, A₃, …, предположительно бесконечный, заранее не задан даже в принципе. Время от времени к такому ряду добавляется следующая алгоритмическая процедура, однако изначально весь ряд в целом не определен. В этом случае, ввиду отсутствия какой-либо предварительно заданной алгоритмической процедуры для порождения такого ряда, единичный замкнутый алгоритм нам получить никак не удастся.

Для описания изменяющегося алгоритма необходимо каким-то образом задать правила, согласно которым он, собственно, изменяется. Если сами по себе эти правила являются полностью алгоритмическими, то мы уже включили их в описание нашей гипотетической процедуры «A», иначе говоря, такой «изменяющийся алгоритм» на деле представляет собой всего-навсего еще один пример единичного алгоритма, и на наши рассуждения подобное допущение никак не влияет. С другой стороны, можно вообразить средства для изменения алгоритма, предположительно не являющиеся алгоритмическими: такие, например, как введение в алгоритм каких-то случайных составляющих или неких процедур взаимодействия его с окружением. «Неалгоритмический» статус подобных средств изменения алгоритма мы еще будем рассматривать несколько позднее (см. §§3.9, 3.10); можно также вернуться к §1.9, где было показано, что ни одно из этих средств не позволяет сколько-нибудь убедительно избавиться от алгоритмизма¹¹ (как того требует точка зрения C) В данном случае, т.е. в рамках чисто математических рассуждений, нас занимает лишь возможность того, что такое изменение действительно будет носить алгоритмический характер. Если же предположить, что алгоритмическим оно быть никак не может, то мы, безусловно, придем к полному согласию с выводом G.

¹¹ Термин «алгоритмизм», который (по своей сути) прекрасно подходит для обозначения «точки зрения A» в моей классификации, был предложен Хао Ваном [377].

Пожалуй, следует немного подробнее остановиться на том, что может обозначать определение «алгоритмически изменяющийся» применительно к алгоритму A. Допустим, что алгоритм A зависит не только от q и n, но и еще от одного параметра t, который можно рассматривать как «время», а можно как просто количество предшествующих настоящему моменту случаев активации нашего алгоритма. Как бы то ни было, мы можем также предположить, что параметр t является натуральным числом, и записать следующий ряд алгоритмов A_t(q, n):

каждый элемент которого предположительно является обоснованной процедурой для установления незавершаемости вычисления C_q(n); при этом мы будем считать, что мощность этих процедур возрастает по мере увеличения t. Предполагается также, что способ, посредством которого увеличивается мощность этих процедур, является алгоритмическим. Возможно, этот «алгоритмический способ» зависит некоторым образом от «опыта» выполнения предыдущих алгоритмов A_t(q, n), однако в данном случае мы предполагаем, что этот «опыт» порождается также алгоритмически (в противном случае мы снова приходим к согласию с G), т.е. мы имеем полное право включить «опыт» (или способы его порождения) в перечень операций, составляющих следующий алгоритм (т.е., собственно, в A_t(q, n)). Действуя таким образом, мы опять-таки получаем единичный алгоритм (A_t(q, n)), который зависит алгоритмически от всех трех параметров: t, q, n. На его основе можно построить алгоритм A*, столь же мощный, что и весь ряд A_t(q, n), однако зависящий только от двух натуральных чисел: q и n. Для получения такого A*(q, n) нам, как и прежде, необходимо лишь выполнить первые десять шагов алгоритма A₀(q, n) и запомнить результат; затем первые десять шагов алгоритма A₁(q, n) и вторые десять шагов алгоритма A₀(q, n), запоминая получаемые результаты; затем первые десять шагов алгоритма A₂(q, n). вторые десять шагов алгоритма A₁(q, n), третьи десять шагов алгоритма A₀(q, n) и т.д., запоминая получаемые на каждом шаге вычисления результаты. В конечном итоге, сразу после завершения любого из составляющих алгоритм вычислений завершается выполнение и всей процедуры в целом. Замена процедуры A процедурой A* никак не влияет на ход рассуждений, посредством которых мы пришли к выводу G.

Вовсе нет. Предполагается, что наше рассуждение применимо лишь к тому пониманию, которое позволяет заключить, что вычисление не завершается, но никак не к тому пониманию, благодаря которому мы приходим к противоположному выводу. Гипотетический алгоритм A вовсе не обязан достигать «успешного завершения», обнаружив что то или иное вычисление завершается. Не в этом заключается его смысл.

Если вас такое положение дел не устраивает, попробуйте представить алгоритм A следующим образом: пусть A объединяет в себе оба вида понимания, но в том случае, когда выясняется, что вычисление C_q(n) действительно завершается, алгоритм A искусственно зацикливается (т.е. выполняет какую-то операцию снова и снова, бесконечное количество раз). Разумеется, на самом деле математики работают иначе, однако дело не в этом. Наше рассуждение построено как reductio ad absurdum¹², т.е. начав с допущения, что для установления математической истины используются заведомо обоснованные алгоритмы, мы в итоге приходим к противоположному выводу. Такое доказательство не требует, чтобы гипотетическим алгоритмом непременно оказался какой-то конкретный алгоритм A, мы вполне можем заменить его на другой алгоритм, построенный на основе A, — как, например, в только что упомянутом случае.

¹² Приведение к абсурду (лат.), доказательство от противного. — Прим. перев.

Этот комментарий применим и к любому другому возражению вида: «А что если алгоритм A завершится по какой-либо совершенно посторонней причине и не даст нам доказательства того, что вычисление C_q(n) не завершается?». Если нам вдруг придется иметь дело с алгоритмом «A», который ведет себя подобным образом, то мы просто применим представленное в §2.5 обоснование к немного другому A — к такому, который зацикливается всякий раз, когда исходный «A» завершается по любой из упомянутых посторонних причин.

В самом деле, было бы весьма затруднительно однозначно гарантировать, что каждому натуральному числу q в нашей последовательности действительно соответствует некое рабочее вычисление C_q. Например, описанная в НРК последовательность машин Тьюринга T_q этому условию, конечно же, не удовлетворяет; см. НРК, с. 54. При определенных значениях q машину Тьюринга T_q можно назвать «фиктивной» по одной из четырех причин: ее работа никогда не завершается; она оказывается «некорректно определенной», поскольку представление числа n в виде двоичной последовательности содержит слишком много (пять или более) единиц подряд и, как следствие, не имеет интерпретации в данной схеме; она получает команду, которая вводит ее в нигде не описанное внутреннее состояние; или же по завершении работы она оставляет ленту пустой, т.е. не дает никакого численно интерпретируемого результата. (См. также Приложение А.) Для приведенного в §2.5 доказательства Гёделя—Тьюринга вполне достаточно объединить все эти причины в одну категорию под названием «вычисление не завершается». В частности, когда я говорю, что вычислительная процедура A «завершается» (см. также примечание [9]), я подразумеваю, что она «завершается» как раз в вышеупомянутом смысле (а потому не содержит неинтерпретируемых последовательностей и не оставляет ленту пустой), — иными словами, «завершиться» может только действительно корректно определенное рабочее вычисление. Аналогично, фраза «вычисление C_q(n) завершается» означает, что данное вычисление корректно завершается именно в этом смысле. При такой интерпретации соображение Q4 не имеет совершенно никакого отношения к представленному мною доказательству.

Оно и в самом деле вполне однозначно показывает, что мы справляемся с такого рода задачами гораздо лучше любого алгоритма. Поэтому, собственно, я и воспользовался в своем рассуждении приемом reductio ad absurdum. Пожалуй, в данном случае уместно будет привести аналогию. Читателям, вероятно, известно о евклидовом доказательстве невозможности отыскать наибольшее простое число, также основанном на reductio ad absurdum. Доказательство Евклида выглядит следующим образом. Допустим обратное: такое наибольшее простое число нам известно; назовем его p. Теперь рассмотрим число N, которое представляет собой сумму произведения всех простых чисел вплоть до p и единицы:

Число N, безусловно, больше p, однако оно не делится ни на одно из простых чисел 2, 3, 5, ..., p (поскольку при делении получаем единицу в остатке), откуда следует, что N либо и есть искомое наибольшее простое число, либо оно является составным, и тогда его можно разделить на простое число, большее p. И в том, и в другом случае мы находим простое число, большее p, что противоречит исходному допущению, заключавшемуся в том, что p есть наибольшее простое число. Следовательно, наибольшее простое число отыскать нельзя.

Такое рассуждение, основываясь на reductio ad absurdum, не просто показывает, что требуемому условию не соответствует некое частное простое число р, поскольку можно отыскать число больше него; оно показывает, что наибольшего простого числа просто не может существовать в природе. Аналогично, представленное выше доказательство Гёделя—Тьюринга не просто показывает, что нам не подходит тот или иной частный алгоритм А, оно демонстрирует, что в природе не существует алгоритма (познаваемо обоснованного), который был бы эквивалентен способности человека к интуитивному пониманию, которую мы применяем для установления факта незавершаемости тех или иных вычислений.

Отыскание конкретного вычисления C_k(k) при заданном алгоритме А, безусловно, представляет собой вычислительный процесс. Более того, это можно достаточно явно показать¹³. Означает ли это, что предположительно неалгоритмическая математическая интуиция — интуиция, благодаря которой мы определяем, что вычисление C_k(k) никогда не завершается, — на деле является все же алгоритмической?

¹³ Чтобы подчеркнуть, что я принимаю это обстоятельство во внимание, я отсылаю читателя к Приложению А, где представлена явная вычислительная процедура (выполненная в соответствии с правилами, подробно описанными в НРК, глава 2) для получения операции C_k(k) машины Тьюринга посредством алгоритма A. Здесь предполагается, что алгоритм A задан в виде машины Тьюринга T_a. определение же вычисления C_q(n) кодируется как операция машины T_a над числом q, а затем над числом n.

Думаю, данное суждение следует рассмотреть более подробно, поскольку оно представляет собой одно из наиболее распространенных недоразумений, связанных с гёделевским доказательством. Следует особо уяснить, что оно не сводит на нет ничего из сказанного ранее. Хотя процедуру отыскания вычисления C_k(k) с помощью алгоритма A можно представить в виде вычисления, это вычисление не входит в перечень процедур, содержащихся в A. И не может входить, поскольку самостоятельно алгоритм A не способен установить истинность C_k(k), тогда как новое вычисление (вкупе с A), судя по всему, вполне на это способно. Таким образом, несмотря на то, что с помощью нового вычисления действительно можно отыскать вычисление C_k(k), членом клуба «официальных установителей истины» оно не является.

Изложим все это несколько иначе. Вообразите себе управляемого компьютером робота, способного устанавливать математические истины с помощью алгоритмических процедур, содержащихся в A. Для большей наглядности я буду пользоваться антропоморфной терминологией и говорить, что робот «знает» те математические истины (в данном случае — связанные с установлением факта незавершаемости вычислений), которые он может вывести, применяя алгоритм A. Однако если наш робот «знает» лишь A, то он никак не сможет «узнать», что вычисление C_k(k) не завершается, даже если процедура отыскания C_k(k) с помощью A является целиком и полностью алгоритмической. Мы, разумеется, могли бы сообщить роботу о том, что вычисление C_k(k) и в самом деле не завершается (воспользовавшись для установления этого факта собственными пониманием и интуицией), однако, если робот примет это утверждение на «веру», ему придется изменить свои собственные правила, присоединив полученную новую истину к тем, что он уже «знает». Мы можем пойти еще дальше и каким-либо способом сообщить нашему роботу о том, что для получения новых истин на основании старых ему, помимо прочего, необходимо «знать» и общую вычислительную процедуру отыскания C_k(k) посредством алгоритма A. К запасу «знаний» робота можно добавить все, что является вполне определенным и вычислительным по своей природе. Однако в результате у нас появляется новый алгоритм «A», и доказательство Гёделя следует применять уже к нему, а не к старому A. Иначе говоря, везде вместо старого A нам следовало бы использовать новый «A», поскольку менять алгоритм посреди доказательства есть не что иное, как жульничество. Таким образом, как мы видим, изъян возражения Q6 очень похож на рассмотренный выше изъян Q5. В нашем reductio ad absurdum мы полагаем, что алгоритм А (под которым понимается некая познаваемая и обоснованная процедура для установления факта незавершаемости вычислений) в действительности представляет собой всю совокупность известных математикам подобных процедур, из чего и следует противоречие. Попытку введения еще одной вычислительной процедуры для установления истины — процедуры, не содержащейся в A, — после того как мы договорились, что A представляет собой всю их совокупность, я расцениваю как жульничество.

Беда нашего злосчастного робота в том, что, не обладая каким бы то ни было пониманием гёделевской процедуры, он не располагает ни одним надежным и независимым способом установления истины — истину ему сообщаем мы. (Эта проблема, вообще говоря, не имеет никакого отношения к вычислительным аспектам доказательства Гёделя.) Для того чтобы достичь чего-то большего, ему, как и всем нам, необходимо понимание смысла операций, которые ему велено выполнять. Если такого понимания нет, то он вполне может «знать» (ошибочно), что вычисление C_k(k) завершается, а вовсе не наоборот. Заключение (ошибочное) «вычисление C_k(k) завершается» выводится точно так же алгоритмически, как и заключение (правильное) «вычисление C_k(k) не завершается». Таким образом, дело вовсе не в алгоритмическом характере этих операций, а в том, что для различения между алгоритмами, приводящими к истинным заключениям, и теми, что приводят к заключениям ложным, наш робот нуждается в способности выносить достоверные суждения об истинности. Далее, на данной стадии рассуждения, мы все еще допускаем возможность того, что процесс «понимания» представляет собой некую разновидность алгоритмической деятельности, которая не содержится ни в одной из точно заданных и «заведомо» обоснованных процедур типа A. Например, понимание может осуществляться посредством выполнения какого-то необоснованного или непознаваемого алгоритма. В дальнейшем (см. главу 3) я попробую убедить читателя в том, что в действительности понимание вообще не является алгоритмической деятельностью. На настоящий же момент нас интересуют всего лишь строгие следствия из доказательства Гёделя—Тьюринга, а на них возможность получения вычисления C_k(k) из процедуры A вычислительным путем никоим образом не влияет.

Несмотря на кажущуюся логичность этого утверждения, здесь упущен из виду один очень существенный момент, а именно: способ, посредством которого мы (или компьютеры) определяем, какие математические утверждения истинны, а какие — ложны. (Во всяком случае, на простое хранение математических утверждений способны и системы, гораздо менее сложные, нежели универсальный компьютер, — например, фотоаппараты.) Принцип использования компьютера в Q7 совершенно не учитывает критического вопроса о наличии у этого самого компьютера способности суждения об истинности. С равным успехом можно вообразить и компьютеры, в памяти которых не содержится ничего, кроме перечня абсолютно ложных математических «теорем», либо случайным образом перемешанных истинных и ложных утверждений. Откуда мы узнаем, какому компьютеру можно доверять? Я отнюдь не утверждаю, что эффективное моделирование результатов сознательной интеллектуальной деятельности человека (в данном случае, в области математики) абсолютно невозможно, поскольку по одной лишь чистой случайности компьютер может «умудриться» сделать все правильно, пусть и не обладая каким бы то ни было пониманием. Однако шансы на это до абсурдного малы, в то время как те вопросы, на которые мы здесь пытаемся найти ответ (например, каким таким образом мы определяем, что вот это математическое утверждение истинно, а вот это — ложно?), в возражении Q7 и вовсе не затрагиваются.

С другой стороны, Q7 все же напоминает об одном более существенном соображении. Имеет ли непосредственное отношение к нашему исследованию обсуждение бесконечных структур (всех натуральных чисел или всех вычислений), если учесть, что совокупность всех результатов, полученных на тот или иной момент времени всеми людьми и компьютерами, имеет конечную величину? В следующем комментарии мы рассмотрим этот безусловно важный вопрос отдельно.

Все верно: рассуждая в идеализированном ключе о машинах Тьюринга, незавершающихся вычислениях и т.п., мы рассматривали бесконечные (потенциально) процессы, тогда как в случае людей или компьютеров нам приходится иметь дело с системами конечными. И, разумеется, применяя подобные идеализированные доказательства к реальным и конечным физическим объектам, следует быть готовыми к тому, что такая операция непременно окажется связанной с теми или иными ограничениями и оговорками. Однако, как выясняется, учет конечной природы реальных объектов не изменяет сколько-нибудь существенно сути доказательства Гёделя—Тьюринга. Нет ничего странного в том, что мы рассуждаем об идеализированных вычислениях, обосновываем те или иные умозаключения и выводим, математически, их теоретические ограничения. Можно, к примеру, обсуждать в абсолютно конечных терминах вопрос о том, существует ли нечетное число, являющееся суммой двух четных чисел, или существует ли натуральное число, не являющееся суммой четырех квадратов (как в приведенных выше задачах (C) и (B)), нисколько не смущаясь тем, что при рассмотрении этих вопросов мы неявно учитываем бесконечное множество всех натуральных чисел. Мы имеем полное право рассуждать о незавершающихся вычислениях (или машинах Тьюринга вообще) как о математических структурах, пусть и не в силах создать на практике бесконечно работающую машину Тьюринга. (Отметим, в частности, что действие машины Тьюринга, занятой поисками нечетного числа, являющегося суммой двух четных чисел, строго говоря, практически реализовать невозможно, так как ее детали износятся гораздо раньше, чем минет вечность.) Описание любого единичного вычисления (или действия машины Тьюринга) — задача вполне конечная, а вопрос о том, завершится ли в конечном итоге это вычисление, можно полагать вполне определенным. Сначала мы доводим до логического завершения теоретические рассуждения, связанные с теми или иными идеализированными вычислениями, и лишь затем пытаемся разглядеть, каким образом наши рассуждения применимы к конечным физическим системам — таким, как реально существующие компьютеры или люди.

Ограничения конечного характера могут быть обусловлены либо тем, что (I) описание конкретного рассматриваемого вычисления оказывается слишком громоздким (т.е. число n в C_n или пара чисел q, n в C_q(n) оказываются слишком велики для того, чтобы их мог описать человек или реально существующий компьютер), либо тем, что (II) при внешней простоте описания вычисление, тем не менее, требует для своего выполнения чрезмерно много времени, в результате чего может показаться, что оно не завершается вовсе, хотя теоретически данное вычисление должно в конечном счете завершиться. На деле же, как мы вскоре убедимся, выясняется, что из этих двух условий сколько-нибудь существенное влияние на наши рассуждения оказывает только (I), да и оно не так уж и велико. Незначительность фактора (II), быть может, покажется вам удивительной. Существует множество относительно простых вычислений, которые в конечном счете завершаются, однако точки их завершения путем прямого вычисления не способен достичь ни один потенциально возможный компьютер. Рассмотрим, например, следующую задачу: «распечатать последовательность из 2²⁶⁵⁵³⁶ единиц, после чего остановиться». (В §3.26 будут предложены еще несколько подобных примеров, гораздо более интересных с математической точки зрения.) Вопрос о завершаемости того или иного вычисления не следует решать путем прямого вычисления: этот метод зачастую оказывается крайне неэффективным.

Для того чтобы выяснить, каким образом ограничения (I) или (II) могут повлиять на наши гёделевские рассуждения, пройдемся еще раз по соответствующим частям доказательства. В соответствии с ограничением (I), вместо бесконечного ряда вычислений, мы располагаем рядом конечным:

где предполагается, что число Q задает наиболее громоздкое вычисление, какое способен выполнить наш компьютер или человек. В случае с человеком вышеприведенное утверждение можно счесть несколько туманным. Впрочем, в настоящий момент нас не особенно заботит точное определение числа Q. (Вопрос о туманности утверждений, касающихся человеческих способностей, будет рассмотрен ниже, в комментарии к возражению Q13 в §2.10.) Кроме того, можно предположить, что, попытавшись применить упомянутые вычисления к какому-то конкретному натуральному числу n, мы обнаружим, что значение n ограничено некоторой фиксированной величиной N, поскольку наш компьютер (или человек) оказывается не способен работать с числами, превышающими N. (Строго говоря, следует учесть и возможность того, что число N не является фиксированным, но зависит от того или иного конкретного вычисления C_q, т.е. N может зависеть от q. Однако этот факт не влияет на наши рассуждения сколько-нибудь существенным образом.)

Как и ранее, мы рассматриваем некий обоснованный алгоритм A(q, n), завершение выполнения которого равносильно доказательству того, что вычисление C_q(n) не завершается. Несмотря на то, что, в соответствии с ограничением (I), рассмотрению подлежат только значения q, не превышающие Q, и только значения n, не превышающие N, мы, говоря об «обоснованности», в действительности имеем в виду, что алгоритм A должен быть обоснованным для всех значений q и n, независимо от их величины. (Таким образом, можно видеть, что правила, реализуемые в алгоритме A, являются точными математическими правилами, в отличие от правил приближенных, работающих только в силу того или иного практического ограничения, налагаемого на «реально осуществимые» вычисления.) Более того, утверждая, что «вычисление C_q(n) не завершается», мы имеем в виду, что это вычисление действительно не завершается, а не то, что это вычисление просто-напросто оказывается слишком громоздким для того, чтобы его мог выполнить наш компьютер или человек, как предусматривает ограничение (II).

Вспомним, что утверждение (H) гласит:

Принимая во внимание ограничение (II), можно было бы предположить, что алгоритм А оказывается не слишком эффективен при установлении факта незавершаемости очередного вычисления, поскольку сам он состоит из большего количества шагов, чем способен выполнить компьютер или человек. Однако, как выясняется, для нашего доказательства этот факт не имеет никакого значения. Мы намерены отыскать некое вычисление A(k, k), которое не завершается вообще. Для нас абсолютно неважно, что в некоторых других случаях, когда вычисление A действительно завершается, мы не можем об этом узнать, так как не в состоянии дождаться этого самого завершения.

Далее, как и в равенстве (J), мы вводим натуральное число к, при котором вычисление A(n, n) совпадает с вычислением C_k(n) для всех n:

Следует, впрочем, рассмотреть еще предусматриваемую ограничением (I) возможность того, что упомянутое число k окажется больше Q. В случае какого-нибудь невообразимо сложного вычисления A такая ситуация вполне возможна, однако только при условии, что это А уже начинает приближаться к верхней границе допустимой сложности (в смысле количества двоичных знаков в его описании в формате машины Тьюринга), с которой может работать наш компьютер или человек. Это обусловлено тем, что вычисление, получающее значение k из описания вычисления A (например, в формате машины Тьюринга), — вещь достаточно простая и может быть задана в явном виде (как уже было показано в комментарии к Q6).

Вообще говоря, для того чтобы поставить в тупик алгоритм A, нам необходимо лишь вычисление C_k(k) — подставляя в (Н) равенство n = k, получаем утверждение (L):

Поскольку A(k, k) совпадает с C_k(k), наше доказательство показывает, что, хотя данное конкретное вычисление C_k(k) никогда не завершается, посредством алгоритма A мы этот факт установить не в состоянии, даже если бы упомянутый алгоритм мог выполняться гораздо дольше любого предела, налагаемого на него в соответствии с ограничением (II). Вычисление C_k(k) задается только введенным ранее числом k, и, при условии, что к не превышает ни Q, ни N, это вычисление и в самом деле в состоянии выполнить наш компьютер или человек — то есть в состоянии начать. Довести его до завершения невозможно в любом случае, поскольку это вычисление просто-напросто не завершается!

А может ли число k оказаться больше Q или N? Такое возможно лишь в том случае, когда для описания A требуется так много знаков, что даже совсем небольшое увеличение их количества выводит задачу за пределы возможностей нашего компьютера или человека. При этом, поскольку мы знаем об обоснованности алгоритма A, мы знаем и о том, что рассматриваемое вычисление C_k(k) не завершается, даже если реальное выполнение этого вычисления представляет для нас проблему. Соображение (I), однако, предполагает и возможность того, что вычисление A окажется столь колоссально сложным, что одно лишь его описание вплотную приблизится к доступному воображению человека пределу сложности, а сравнительно малое увеличение количества составляющих его знаков даст в результате вычисление, превосходящее всякое человеческое понимание. Что бы мы о подобной возможности ни думали, я все же считаю, что любой столь впечатляющий набор реализуемых в нашем гипотетическом алгоритме А вычислительных правил окажется, вне всякого сомнения, настолько сложным, что мы не в состоянии будем знать наверняка, является ли он обоснованным, даже если нам будут точно известны все эти правила по отдельности. Таким образом, наше прежнее заключение остается в силе: при установлении математических истин мы не применяем познаваемо обоснованные наборы алгоритмических правил.

Не помешает несколько более подробно остановиться на сравнительно незначительном увеличении сложности, сопровождающем переход от A к C_k(k). Помимо прочего, это существенно поможет нам в нашем дальнейшем исследовании (в §§3.19 и 3.20). В Приложении А предложено явное описание вычисления C_k(k) в виде предписаний для машины Тьюринга, рассмотренных в НРК (глава 2). Согласно этим предписаниям, под обозначением T_m понимается «m-я машина Тьюринга». Для большего удобства и упрощения рассуждений здесь мы также будем пользоваться этим обозначением вместо «C_m», в частности, для определения степени сложности вычислительной процедуры или отдельного вычисления. В соответствии с вышесказанным, определим степень сложности μ машины Тьюринга T_m как количество знаков в двоичном представлении числа m (см. НРК, с. 39); при этом степень сложности некоторого вычисления T_m(n) определяется как большее из двух чисел μ и ν, где ν — количество двоичных знаков в представлении числа n. Рассмотрим далее приведенное в Приложении А явное предписание для составления вычисления C_k(k) на основании алгоритма A, заданного в упомянутых спецификациях машины Тьюринга. Полагая степень сложности A равной α, находим, что степень сложности явного вычисления C_k(k) не превышает числа α + 210 log₂(α + 336) — а это число, в свою очередь, оказывается лишь очень ненамного больше собственно α, да и то только тогда, когда число а очень велико.

В вышеприведенных общих рассуждениях имеется один потенциально спорный момент. В самом деле, какой смысл рассматривать вычисления, слишком сложные даже для того, чтобы просто их записать, или те, что, будучи записанными, возможно, потребуют на свое действительное выполнение промежуток времени, гораздо больший предполагаемого возраста нашей Вселенной, даже при условии, что каждый шаг такого вычисления будет производиться за самую малую долю секунды, какая еще допускает протекание каких бы то ни было физических процессов? Упомянутое выше вычисление — то, результатом которого является последовательность из 2²⁶⁵⁵³⁶ единиц и которое завершается лишь после выполнения этой задачи, — представляет собой как раз такой пример; при этом позицию математика, позволяющего себе утверждать, что данное вычисление является незавершающимся, можно охарактеризовать как крайне нетрадиционную. Однако в математике существуют и некоторые другие точки зрения, пусть и не до такой степени нетрадиционные, — но все же решительно презирающие всяческие условности, — согласно которым известная доля здорового скептицизма в отношении вопроса об абсолютной математической истинности идеализированных математических утверждений отнюдь не помешает. На некоторые из них, безусловно, стоит хотя бы мельком взглянуть.

В своем гёделевском доказательстве (в частности, в утверждении (M)) я использовал аргумент следующего вида: «Допущение о ложности X приводит к противоречию; следовательно, утверждение X истинно». Под «X» в данном случае следует понимать утверждение: «Вычисление C_k(k) не завершается». Это рассуждение относится к типу reductio ad absurdum; что же касается доказательства Гёделя в целом, то оно и в самом деле построено именно таким образом. Направление же в математике, называемое «интуиционизмом» (у истоков которого стоял голландский математик Л. Э. Я. Брауэр; см. [223] и НРК, с. 113-116), отрицает возможность построения обоснованного доказательства на основе reductio ad absurdum. Интуиционизм возник приблизительно в 1912 году как реакция на некоторые сформировавшиеся к концу девятнадцатого — началу двадцатого века математические тенденции, суть которых сводится к следующему: математический объект можно полагать «существующим» даже в тех случаях, когда нет никакой возможности этот объект так или иначе воплотить в действительности. А надо сказать, что слишком вольное применение крайне расплывчатой концепции математического существования и впрямь приводит порой к весьма неприятным противоречиям. Самый известный пример такого противоречия связан с парадоксальным «множеством всех множеств, не являющихся членами самих себя» Бертрана Рассела. (Если множество Рассела является членом самого себя, то оно таковым не является; если же оно членом самого себя не является, то оно им, как ни странно, является! Подробнее см. §3.4 и НРК, с. 101.) Дабы противостоять общей тенденции, в рамках которой могут считаться «существующими» весьма вольно определенные математические объекты, интуиционисты полагают необоснованным математическое рассуждение, позволяющее делать вывод о существовании того или иного математического объекта на основании одной лишь противоречивости его несуществования. Доказательство существования объекта посредством reductio ad absurdum не дает абсолютно никаких оснований полагать, что упомянутый объект действительно можно построить.

Каким же образом запрет на применение reductio ad absurdum может повлиять на наше гёделевское доказательство? Вообще говоря, совсем не может, по той простой причине, что reductio ad absurdum мы применяем, если можно так выразиться, наоборот, то есть противоречие в нашем случае выводится из допущения, что нечто существует, а не из обратного допущения. С интуиционистской точки зрения все выглядит совершенно законно: мы заключаем, что объект не существует, на том основании, что противоречие возникает как раз из допущения о существовании этого самого объекта. Предложенное мною гёделевское доказательство, по сути своей, является в интуиционистском смысле абсолютно приемлемым. (См. [223], с. 492.)

Аналогичные рассуждения применимы и ко всем прочим «конструктивистским» или «финитистским» направлениям в математике, о каких мне известно. Комментарий к возражению Q8 демонстрирует, что даже та точка зрения, согласно которой последовательность натуральных чисел нельзя считать «на самом деле» бесконечной, не освобождает нас от неизбежного вывода: для установления математической истины мы таки не пользуемся познаваемо обоснованными алгоритмами.