Часть II

Новая физика, необходимая для понимания разума. В поисках невычислительной физики разума

5. Структура квантового мира

5.15. Квантовомеханическое «И»

В квантовой механике имеется стандартная процедура для исследования систем из двух и более независимых компонентов. Эта процедура понадобится нам, в частности, при рассмотрении с квантовой точки зрения (которое мы планируем дать в §5.18) системы, состоящей из двух далеко разнесенных в пространстве частиц со спином 3/2 — тех самых частиц, которые «Квинтэссенциальные Товары» поместили в магические додекаэдры (см. §5.3). Необходима такая процедура и для квантовомеханического описания детектора в момент сцепления его состояния с квантовым состоянием регистрируемой частицы.

Рассмотрим для начала систему, состоящую всего из двух независимых (невзаимодействующих) компонентов. Допустим, что каждый из этих компонентов (в отсутствие другого) описывается своим вектором состояния — скажем, |α〉 и |β〉. Как описать всю систему, в которой присутствуют оба компонента? Обычная процедура заключается в составлении так называемого тензорного (или внешнего) произведения этих векторов, которое записывается следующим образом:

Мы можем рассматривать это произведение как стандартный квантовомеханический способ представления обыкновенного логического «И» — в том смысле, что такая система объединяет в себе в некоторый момент времени обе независимые квантовые системы, представленные, соответственно, векторами состояния |α〉 и |β〉. (Например, |α〉 может представлять электрон, находящийся в точке A, а |β〉 — атом водорода в некоторой отдаленной точке B. Тогда состояние, в котором электрон находится в точке A, а атом водорода — в точке B, будет представлено произведением |α〉|β〉.) Величина |α〉|β〉 представляет одно квантовое состояние — мы вполне можем обозначить его одним вектором состояния, скажем, |х), и, не нарушив ни одного закона, записать

Следует особо подчеркнуть, что это понятие «И» не имеет ничего общего с квантовой линейной суперпозицией, которая записывается как сумма векторов состояний |α〉 + |β〉 или, в общем случае, z|α〉 + w|β〉, где z и w — комплексные весовые коэффициенты. Например, если |α〉 и |β〉 — возможные состояния одного фотона (соответствующие, скажем, его расположению в различных точках A и B), то запись |α〉 + |β〉 также представляет возможное состояние того же самого фотона, при котором он замирает в нерешительности где-то между A и B в соответствии с маловразумительными предписаниями квантовой теории, — одного фотона, заметим, никак не двух. Состояние пары фотонов, при котором один находится в точке A, а другой — в точке B, будет представлено уже вектором |α〉|β〉.

Тензорное произведение подчиняется тем же алгебраическим правилам, каким, по нашим представлениям, и должно подчиняться любое уважающее себя произведение:

разве что равенство |α〉|β〉 = |β〉|α〉, строго говоря, некорректно. Это, впрочем, отнюдь не означает, что интерпретация понятия «И» в квантовомеханическом контексте предполагает, что совокупная система «|α〉 и |β〉» физически чем-то отличается от совокупной системы «|β〉 и |α〉». Мы попробуем обойти эту проблему посредством несколько более глубокого погружения в таинства действительного поведения Вселенной на квантовом уровне. В дальнейшем под записью |α〉|β〉 мы будем подразумевать не то, что математики называют «тензорным произведением», а скорее то, что в математической физике (с недавних пор) называется грассмановым произведением. Тогда к записанным выше можно добавить еще одно правило:

Знак «минус» появляется здесь лишь в том случае, когда оба состояния (|α〉 и |β〉) «охватывают» нечетное количество частиц с нецелочисленным спином. (Такие частицы называются фермионами, а их спин принимает значения 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, …. Частицы со спином 0, 1, 2, 3, … называются бозонами и на знак в приведенном выше выражении никак не влияют.) Впрочем, на данном этапе читателю нет необходимости вникать во все эти формальности. До тех пор, пока нас занимает лишь скрывающееся за описанием физическое состояние, «|α〉 и |β〉» ничем не отличается от «|β〉 и |α〉».

Для описания состояний с тремя или большим количеством независимых компонентов мы просто повторяем процедуру. Так, если обозначить индивидуальные состояния этих трех компонентов через |α〉, |β〉 и I7), то состояние, в котором все три компонента наличествуют одновременно, описывается произведением

причем грассманово произведение (|α〉|β〉)|γ〉 (или, что эквивалентно, |α〉(|β〉|γ〉)) описывает то же самое состояние. Аналогичным образом рассматриваются и системы с четырьмя или более независимыми компонентами.

Следует упомянуть и об одном важном свойстве шрёдингеровой эволюции U: эволюция совокупной системы |α〉|β〉 (где |α〉 и |β〉 никак друг с другом не взаимодействуют) есть не что иное, как совокупность эволюции индивидуальных систем. Так, если по истечении некоторого времени t система |α〉 эволюционирует (индивидуально) в систему |α'〉, а система |β〉 эволюционирует (индивидуально) в систему |β'〉, то совокупная система |α〉|β〉 за то же время t эволюционирует в систему |α'〉|β'〉. Аналогично, если у нас имеется три невзаимодействующих компонента |α〉, |β〉 и |γ〉, эволюционирующих, соответственно, в |α'〉, |β'〉 и |γ'〉 то совокупная система |α〉|β〉|γ〉 посредством той же эволюции переходит в состояние |α'〉|β'〉|γ'〉. То же верно для четырех и более компонент.

Отметим, что свойство это очень похоже на свойство линейности эволюции U (см. §5.7), согласно которому результат эволюции суперпозиции состояний в точности совпадает с суперпозицией результатов эволюции отдельных состояний. Состояние |α〉 + |β〉, например, эволюционируете |α'〉 + |β'〉. Тем не менее, речь в обоих случаях идет о совершенно разных вещах, и очень важно об этой разнице не забывать. Нет ничего удивительного в том, что система, составленная из невзаимодействующих независимых компонентов, эволюционирует — как целое — так, словно ни один из ее отдельных компонентов понятия не имеет о присутствии в системе остальных. Независимость компонентов (т.е. полное отсутствие каких бы то ни было взаимодействий между ними) в данном случае — существенное условие, иначе свойство не «работает». Свойство линейности же оказывается поистине неожиданным. Получается, что под действием U системы-суперпозиции состояний эволюционируют как набор отдельных, полностью изолированных друг от друга состояний независимо от того, изолированы эти состояния в действительности или между ними существуют какие-то взаимодействия. Одного этого достаточно, чтобы усомниться в абсолютной справедливости свойства линейности. И все же эволюция U линейна (и тому есть многочисленные подтверждения), но лишь в отношении феноменов, целиком и полностью ограниченных квантовым уровнем. Нарушение же линейности происходит, по всей видимости, исключительно под действием процедуры R. К этому вопросу мы еще вернемся.