Часть I

Почему для понимания разума необходима новая физика?. Невычислимость сознательного мышления

3. О невычислимости в математическом мышлении

3.4. Не действуют ли математики, сами того не осознавая, в соответствии с необоснованным алгоритмом?

Допустим, что в основе математического понимания и в самом деле лежит некая необоснованная формальная система F. Как же мы тогда можем быть уверены, что наши математические представления в отношении того, что считать неоспоримо истинным, не введут нас в один прекрасный день в какое-нибудь фундаментальное заблуждение? А может, это уже случилось? Ситуация несколько отличается от той, что рассматривалась в связи со случаем I, где мы исключили возможность нашего знания о том, что некая система F и в самом деле является необоснованной. Здесь же мы допускаем, что подобная роль системы F принципиально непознаваема, вследствие чего нам придется повторно рассмотреть вариант с возможной необоснованностью F. Можно ли считать действительно правдоподобным предположение о том, что фундаментом для наших неопровержимых математических убеждений служит некая необоснованная система — настолько необоснованная, что одним из этих убеждений может, в принципе, оказаться уверенность в истинности равенства 1 = 2. Несомненно одно: если мы не можем доверять собственным математическим суждениям, то мы равным образом не можем доверять и всем остальным своим суждениям об устройстве и функционировании окружающего нас мира, поскольку математические суждения составляют весьма существенную часть всего нашего научного понимания.

Кто-то, тем не менее, возразит, что нет ничего невероятного в том, что какие-то современные общепринятые математические суждения (или суждения, которые мы будем считать неоспоримыми в будущем) содержат скрытые «врожденные» противоречия. Возможно, сошлется даже на тот знаменитый парадокс (о «множестве множеств, которые не являются элементами самих себя»), о котором Бертран Рассел писал Готтлобу Фреге в 1902 году, как раз тогда, когда Фреге собирался опубликовать труд всей своей жизни, посвященный основам математики (см. также комментарий к возражению Q9, §2.7 и НРК, с. 100). В приложении к книге Фреге писал (см. [127]):

Разумеется, мы всегда можем сказать, что Фреге просто-напросто ошибся. Всем известно, что математики иногда допускают ошибки — порой даже весьма серьезные. Более того, как явствует из признания самого Фреге, его ошибка была вполне исправимой. Разве мы не убедились (в §2.10, комментарий к Q13) в том, что подобные исправимые ошибки не имеют к нашим рассуждениям никакого отношения? Мы рассматриваем здесь, как и в §2.10, лишь принципиальные вопросы, а не подверженность ошибкам отдельных представителей математического сообщества. Ошибки же, на которые можно указать, ошибочность которых можно однозначно продемонстрировать, вовсе не принадлежат к категории принципиальных вопросов, разве не так? Все так, однако ситуация, рассматриваемая нами в настоящий момент, несколько отличается от той, что обсуждалась в комментарии к возражению Q13, поскольку теперь у нас есть формальная система F, которая, возможно, лежит в основе нашего математического понимания, только мы об этом не знаем. Как и прежде, нас не занимают единичные ошибки — или «оговорки», — которые может допустить отдельный математик, рассуждая в рамках какой-то в общем непротиворечивой системы. Однако теперь речь идет еще и о том, что сама система может содержать в себе некие глобальные противоречия. Именно это и произошло в случае с Фреге. Не узнай Фреге о парадоксе Рассела (или ином парадоксе сходной природы), вряд ли кто-либо смог бы убедить его в том, что в его систему вкралась фундаментальная ошибка. Дело не в том, что Рассел указал на какое-то формальное упущение в рассуждениях Фреге, а Фреге признал наличие ошибки, руководствуясь собственными канонами построения умозаключений; нет, Фреге продемонстрировали, что в самих этих канонах содержится некое изначальное противоречие. И именно факт наличия противоречия, а не что-либо иное, убедило Фреге в том, что его рассуждения ошибочны, а то, что прежде представлялось несокрушимой истиной, на деле фундаментально неверно. При этом о существовании ошибки стало известно только благодаря тому, что вскрылось противоречие. Если бы факт противоречивости установлен не был, то математики могли бы еще долгое время считать предложенные Фреге методы построения умозаключений вполне достоверными и даже, возможно, строили бы на их фундаменте собственные системы.

Впрочем, полагаю, в данном случае крайне маловероятно, что многим математикам удалось бы в течение сколько-нибудь длительного срока наслаждаться той свободой умопостроений (в отношении бесконечных множеств), какую предоставляла система Фреге. Причина в том, что парадоксы типа парадокса Рассела довольно легко обнаружить. Можно представить себе какой-нибудь гораздо более тонкий парадокс, например, такой, что неявным образом содержится в тех или иных полагаемых нами на данный момент неопровержимо истинными математических процедурах, — парадокс, о котором никто не узнает еще, быть может, многие века. Необходимость в смене привычных правил мы осознаем лишь тогда, когда такой парадокс наконец себя проявит. Короче говоря, наша математическая интуиция не зиждется на каких-то непреходящих в веках установлениях, а напротив, непрерывно меняется под сильным воздействием идей, которые прекрасно «работали» прежде, и соображений, последствия применения которых пока что «сходят нам с рук». Такая точка зрения отнюдь не исключает возможности существования в основе нашего теперешнего математического понимания некоего алгоритма (или формальной системы), однако этот алгоритм не является чем-то неизменным, по мере обнаружения новых данных он подвергается непрерывной модификации. К изменяющимся алгоритмам мы еще вернемся несколько позднее (см. §§3.9-3.11, а также §1.5), где и убедимся в том, что это по-прежнему все те же алгоритмы, только в ином обличье.

Разумеется, с моей стороны было бы наивным отрицать тот факт, что в методах, которые применяют в своей работе математики, нередко присутствует элемент «доверия» процедуре, если она «до сих пор, кажется, работает». В моей собственной математической практике такие предварительные, ориентировочные, нечеткие соображения составляют в общей совокупности рассуждений весьма заметный процент. Однако они, как правило, обретаются в той области, которая «отвечает» за нащупывание нового, еще не сформировавшегося понимания, а никак не в той, где мы «складываем» неопровержимо, на наш взгляд, установленные истины. Я очень сомневаюсь, что сам Фреге так уж категорически полагал свою систему абсолютно неопровержимой, даже не подозревая еще о парадоксе, о котором написал ему Рассел. Система суждений столь общего характера, что бы ни думал по ее поводу автор, всегда выдвигается на всеобщее обозрение с некоторой настороженностью. Лишь после длительного «периода осмысления» можно будет полагать, что она достигла, наконец, «уровня неопровержимости». Имея же дело с системой настолько общей, как система Фреге, в любом случае, как мне кажется, следует употреблять выражения вида «полагая систему Фреге обоснованной, можно считать справедливым то-то и то-то», а не просто утверждать эти самые «то-то и то-то» без упомянутой оговорки. (См. также комментарии к возражениям Q11 и Q12.)

Возможно, в настоящее время математики стали более осторожными в отношении того, что они готовы рассматривать как «неопровержимую истину» — эпоха осторожности сменила эпоху отчаянной дерзости (среди примеров которой работа Фреге занимает далеко не последнее место), пришедшуюся на конец XIX столетия. С выходом на сцену парадокса Рассела и прочих ему подобных необходимость в такой осторожности проявляется особенно наглядно. Что же касается дерзости, то она, по большей части, уходит корнями в те времена, когда математики начали потихоньку осознавать всю мощь канторовой теории бесконечных чисел и бесконечных множеств, выдвинутой им в начале того же XIX века. (Следует, впрочем, отметить, что Кантор знал о парадоксах, подобных парадоксу Рассела, — задолго до того, как сам Рассел обнаружил тот, что был назван его именем^{41}, — и предпринимал попытки усовершенствовать свою формулировку с тем, чтобы, по возможности, учитывать подобные проблемы.) Цели и характер моих рассуждений на этих страницах также, несомненно, требуют крайней осторожности. И я безмерно рад, что нам с вами приходится иметь дело только с утверждениями, истинность которых неопровержима, и что нет никакой необходимости влезать в дебри бесконечных множеств и прочих сомнительных понятий. Важно помнить, что — где бы мы ни провели черту — полученные с помощью доказательства Гёделя утверждения всегда остаются в рамках неопровержимо истинного (см. также комментарий к возражению Q13). Само по себе доказательство Гёделя(—Тьюринга) не имеет абсолютно никакого отношения к вопросам, связанным с сомнительным существованием бесконечных множеств определенного сорта. Неясности, касающиеся тех самых исключительно вольных рассуждений, столь занимавших Кантора, Фреге и Рассела, ничуть не занимают нас — до тех пор, пока они остаются «сомнительными», не претендуя на звание «неопровержимых». Коль скоро мы со всем этим согласны, я никак не могу счесть правдоподобным допущение, согласно которому математики действительно используют в качестве основы для своего математического понимания и убеждений какую-либо необоснованную формальную систему F. Я надеюсь, читатель согласится с тем, что вне зависимости от того, возможна такая ситуация или нет, она, во всяком случае, невероятна.

Наконец, в связи с возможной необоснованностью нашей гипотетической системы F, вернемся ненадолго к другим аспектам человеческой «неточности», о которых мы говорили выше (см. комментарии к возражениям Q12 и Q13). Прежде всего повторю: нас в данном случае интересуют не вдохновение, не гениальные догадки и не эвристические критерии, способные привести математика к великим открытиям, но лишь понимание и проникновение в суть, на фундаменте которых покоятся его неопровержимые убеждения в отношении математических истин. Эти убеждения могут оказаться всего-навсего результатом ознакомления с рассуждениями других математиков, и в этом случае о каких бы то ни было элементах математического открытия говорить, разумеется, не приходится. А вот когда мы нащупываем путь к какому-то подлинному открытию, и впрямь весьма важно дать размышлениям свободу, не ограничивая их изначально необходимостью в полной достоверности и точности (у меня сложилось впечатление, что именно это имел в виду Тьюринг в приведенной выше цитате, см. §3.1). Однако когда перед нами встает вопрос о принятии или отклонении тех или иных доводов в поддержку неопровержимой истинности выдвигаемого математического утверждения, необходимо полагаться лишь на понимание и проницательность (нередко в сопровождении громоздких вычислений), которым ошибки принципиально не свойственны.

Я вовсе не хочу сказать, что математики, полагающиеся на понимание, не делают ошибок, — делают, и даже часто: понимание тоже можно применить некорректно. Безусловно, математики допускают ошибки и в рассуждениях, и в понимании, а также в сопутствующих вычислениях. Однако склонность к совершению подобных ошибок, в сущности, не усиливает их способности к пониманию (хотя я, пожалуй, могу представить себе, каким образом подобные случайные обстоятельства могут порой привести человека к нежданному, скажем так, озарению). Что более важно — эти ошибки исправимы; их можно распознать как ошибки, когда на них укажет какой-либо другой математик (или даже впоследствии сам автор). Совсем иначе обстоит дело, когда понимание математика контролируется некоей внутренне ошибочной формальной системой F: в рамках такой системы невозможно распознать ее собственные ошибки. (Что касается возможности существования самосовершенствующейся системы, которая модифицирует самое себя всякий раз, как обнаруживает в себе противоречие, то о ней мы поговорим несколько позднее, «на подступах» к противоречию §3.14. Там же мы и обнаружим, что и от такого предположения в данном случае пользы мало; см. также §3.26.)

Ошибки несколько иного рода возникают при неверной формулировке математического утверждения; в этом случае выдвигающий утверждение математик, возможно, имеет в виду нечто совсем отличное от того, что он буквально утверждает. Впрочем, такие ошибки также исправимы и не имеют ничего общего с теми внутренними ошибками, причиной которых является понимание, опирающееся на необоснованную систему F (здесь уместно вспомнить фразу Фейнмана, которую мы цитировали в связи с возражением Q13: «Не слушайте, что я говорю; слушайте, что я имею в виду!»). Мы с вами здесь для того, чтобы выяснить, что в принципе может (либо не может) быть установлено каким угодно математиком (человеком); ошибки же, подобные только что рассмотренным, — т.е. исправимые ошибки — никакого отношения к этой проблеме не имеют. Важнейший, пожалуй, для всего нашего исследования момент: круг идей и понятий, доступных математическому пониманию, непременно должен включать в себя центральную идею доказательства Гёделя—Тьюринга; на этом, собственно, основании мы и не рассматриваем всерьез возможность I, а возможность II полагаем крайне невероятной. Как уже отмечалось выше (в комментарии к возражению Q13), идея доказательства Гёделя—Тьюринга, безусловно, должна являться частью того, что в принципе в состоянии понять математик, даже если какое-то конкретное утверждение «G(F)», на котором этот математик, возможно, основывается, ошибочно — лишь бы ошибка была исправимой.

С возможной «необоснованностью» предполагаемого алгоритма математического понимания связаны и другие вопросы, о которых не следует забывать. Эти вопросы касаются процедур «восходящего» типа — таких, к примеру, как самоусовершенствующиеся алгоритмы, алгоритмы обучения (в том числе и искусственные нейронные сети), алгоритмы с дополнительными случайными компонентами, а также алгоритмы, операции которых обусловлены внешним окружением, в котором функционируют соответствующие алгоритмические устройства. Некоторые из упомянутых вопросов были затронуты ранее (см. комментарий к возражению Q2), подробнее же мы рассмотрим их при обсуждении случая III, к каковому обсуждению мы как раз и приступаем.