Часть II

Новая физика, необходимая для понимания разума. В поисках невычислительной физики разума

5. Структура квантового мира

5.7. Унитарная эволюция U

Таким детерминированным описанием является, например, унитарная эволюция (обозначим ее буквой U). Эта эволюция описывается точными математическими уравнениями, однако нам не так уж важно знать, как именно эти уравнения выглядят. Нам понадобятся лишь некоторые из свойств эволюции U. В так называемом «шрёдингеровом представлении» U задается уравнением Шрёдингера, которое характеризует скорость изменения квантового состояния (или волновой функции) во времени. Это квантовое состояние (обычно обозначаемое греческой буквой ψ, или так: |ψ〉) представляет собой полную взвешенную сумму (с комплексными весовыми коэффициентами) всех возможных альтернатив, доступных данной квантовой системе. Таким образом, для приведенного выше примера с двумя альтернативными положениями электрона квантовое состояние \гр) записывается в виде следующей комбинации комплексных чисел:

где w и z — комплексные числа (причем хотя бы одно из них не равно нулю). Комбинацию w|A〉 + z|B〉 мы называем линейной суперпозицией состояний |A〉 и |B〉. Величина |ψ〉 (равно как и |A〉 или |B〉) часто называется вектором состояния. Квантовые состояния (или векторы состояния) могут записываться и в более общем виде — например, так:

где u, v, …, z — комплексные числа (причем хотя бы одно из них не равно нулю), а |A〉, |B〉, …, |F〉 символизируют различные возможные положения, которые может занимать частица (или какое-либо иное возможное свойство частицы — например, ее спиновое состояние; см. §5.10). Обобщая далее, можно допустить выражение волновой функции или вектора состояния в виде бесконечной суммы (поскольку число положений, которые может занимать точечная частица, бесконечно велико); впрочем, подобные случаи нас пока не занимают.

Здесь необходимо упомянуть об одной технической особенности квантового формализма. Дело в том, что значимыми являются только отношения комплексных весовых факторов. Подробнее об этом я расскажу позднее. А пока мы просто отметим, что для любого отдельно взятого вектора состояния |ψ〉 верно следующее: любое комплексное кратное u|ψ〉 (где u ≠ 0) описывает то же самое физическое состояние, что и |ψ〉. Таким образом, например, физические состояния uw|A〉 + uz|B〉 и w|A〉 + z|A〉 совершенно идентичны. Соответственно, физический смысл имеет отношение w : z, но не отдельные числа w и z.

Наиболее фундаментальным свойством уравнения Шрёдингера (а значит, и эволюции U) является его линейность. Иначе говоря, если у нас есть два состояния (скажем, |ψ〉 и |φ〉) и уравнение Шрёдингера, согласно которому по прошествии времени t состояния |ψ〉 и |φ〉 эволюционируют в новые состояния, соответственно, |ψ'〉 и |φ'〉, то любая линейная суперпозиция w|ψ〉 + z|φ〉 за то же время t неминуемо эволюционирует в суперпозицию w|ψ'〉 + z|φ'〉. Для обозначения эволюции за время t воспользуемся символом ⇝. Тогда линейность подразумевает следующее: если

то имеет место и эволюция

Это рассуждение применимо (разумеется) и к линейным суперпозициям трех и более индивидуальных квантовых состояний: например, состояние u|χ〉 + w|ψ〉 + z|φ〉 эволюционирует за время t в состояние u|χ'〉 + w|ψ'〉 + z|φ'〉, если каждое из состояний |χ〉, |ψ〉 и |φ〉 в отдельности эволюционирует за это же время, соответственно, в |χ'〉, |ψ'〉 и |φ'〉. Иными словами, эволюция всегда происходит так, словно каждый отдельно взятый компонент суперпозиции не «знает» о присутствии других. Можно сказать, что каждый отдельно взятый «мир», описываемый упомянутым компонентом, эволюционирует независимо от других, но всегда в соответствии с тем же уравнением Шрёдингера, что и другие. При этом комплексные весовые коэффициенты в суперпозиции, описывающей совокупное состояние, в процессе эволюции остаются неизменными.

Ввиду вышесказанного можно подумать, что суперпозиции и комплексные весовые коэффициенты не играют сколько-нибудь эффективной физической роли, поскольку эволюция отдельных состояний во времени происходит так, словно других состояний тут вовсе нет. Это заблуждение. Проиллюстрируем на примере, что может произойти с такой системой в реальности.

Рассмотрим случай падения света на полусеребрёное зеркало, т.е. на полупрозрачное зеркало, отражающее ровно половину падающего на него света и беспрепятственно пропускающее все остальное. По квантовой теории, свет образуют частицы, называемые фотонами. Вполне естественно будет предположить, что половина фотонов из падающего на полусеребрёное зеркало потока отражается от его поверхности, а половина проходит зеркало насквозь. Не тут-то было! Согласно все той же квантовой теории, при столкновении с поверхностью зеркала каждый отдельный фотон переходит в состояние суперпозиции отражения и пропускания. Если фотон находился до столкновения с зеркалом в состоянии |A〉, то после столкновения состояние фотона эволюционирует (в соответствии с U) в состояние, которое можно записать в виде |B〉 + i|C〉, где |B〉 символизирует состояние, в котором фотон проникает сквозь зеркало, а |C〉 — состояние, в котором фотон от зеркала отражается (см. рис. 5.11). Запишем эту эволюцию:

Коэффициент i появляется здесь вследствие результирующего фазового сдвига на четверть длины волны^{68}, который возникает в таком зеркале между отраженным и прошедшим лучом света. (Для большей точности мне следовало бы включить в выражение зависящий от времени коэффициент осцилляции и выполнить полную нормировку, однако в настоящем обсуждении никакой необходимости в такой точности нет. В приводимых описаниях я выделяю лишь существенные для нас аспекты происходящего. Несколько подробнее о коэффициенте осцилляции мы поговорим в §5.11, а вопроса о нормировке коснемся в §5.12. Более полное описание можно найти в любой стандартной работе по квантовой теории^{69}; см. также НРК, с. 243-250.)

В рамках классической картины поведения частицы мы, разумеется, предположим, что состояния |B〉 и |C〉 представляют собой альтернативные варианты возможного поведения фотона. В квантовой же механике нам предлагается поверить, что фотон, находясь в такой чудесной комплексной суперпозиции, действительно совершает оба указанных действия одновременно. Чтобы убедиться в том, что здесь никоим образом не может идти речь о классических вероятностно-взвешенных альтернативах, разовьем наш пример еще немного и попытаемся снова свести вместе два частных состояния фотона (два фотонных луча). Для этого отразим сначала каждый луч от обычного, непрозрачного зеркала. В результате отражения^{70} состояние |B〉 фотона эволюционирует, согласно U, в некоторое другое состояние, скажем, i|D〉, тогда как состояние |C〉 эволюционирует в i|E〉:

Таким образом, совокупное состояние |B〉 + i|C〉 эволюционирует по U следующим образом:

(поскольку i² = —1). Вообразим далее, что эти два луча сходятся на четвертом зеркале, на этот раз снова полупрозрачном (как показано на рис. 5.12; предполагается, что длины всех лучей одинаковы, благодаря чему коэффициент осцилляции, которым я по-прежнему пренебрегаю, не играет никакой роли и здесь). Состояние |D〉 эволюционирует при этом в комбинацию |G〉 + i|F〉, где |G〉 представляет состояние прохождения, a |F〉 — состояние отражения. Аналогичным образом, |E〉 эволюционирует в |F〉 + i|G〉, поскольку в этом случае |F〉 символизирует состояние прохождения, a |G〉 — состояние отражения:

Нетрудно убедиться (ввиду линейности эволюции U), что совокупное состояние i|D〉—|E〉 эволюционирует следующим образом:

(Коэффициент —2 физического смысла не имеет, поскольку, как уже упоминалось выше, при умножении совокупного физического состояния системы — в данном случае, |F〉 — на некоторое отличное от нуля комплексное число физическая ситуация остается прежней.) Таким образом, мы видим, что возможность |G〉 оказывается для фотона закрытой: после слияния двух лучей в один открытой остается единственно возможность |F〉. Этот любопытный результат обусловлен тем, что в физическом состоянии фотона в промежутке между его столкновениями с первым и последним зеркалом присутствуют оба луча одновременно. Мы говорим, что при этом происходит интерференция двух лучей. Как следствие, получается, что альтернативные «миры» фотона между упомянутыми столкновениями не отделены в действительности один от другого, но могут друг на друга влиять посредством этих самых феноменов интерференции.

Важно помнить о том, что описанное свойство демонстрируют единичные фотоны. Следует понимать, что каждый отдельный фотон «пробует» оба открытых перед ним пути, оставаясь при этом все тем же одним фотоном. Он не расщепляется на два фотона на некоем промежуточном этапе, однако местоположение его определяется этаким странным комплексно-взвешенным сосуществованием альтернатив, что как раз и характерно для квантовой теории.