Часть II

Новая физика, необходимая для понимания разума. В поисках невычислительной физики разума

6. Квантовая теория и реальность

6.4. Матрица плотности

Многие физики, полагая себя людьми практичными, вопросами «реальности» вектора |ψ〉 не интересуются. От |ψ〉 им нужно лишь одно — возможность вычислять с его помощью вероятности того или иного дальнейшего физического поведения объекта. Часто бывает так, что состояние, выбранное изначально для представления физической ситуации, приобретает под действием эволюции чрезвычайную сложность, а его сцепленности с элементами окружения становятся настолько запутанными, что на практике совершенно невозможно проследить за эффектами квантовой интерференции, отличающими такое состояние от множества других ему подобных. Все уверения в том, что явившийся результатом данной конкретной эволюции вектор состояния сколько-нибудь более реален, нежели прочие, на практике от него неотличимые, наши «практичные» физики, без сомнения, сочтут абсолютно лишенными смысла. В самом деле, скажут они, любой отдельный вектор состояния, пригодный для описания «реальности», всегда можно заменить подходящей вероятностной комбинацией векторов состояния. Если применение процедуры U к некоему вектору состояния, представляющему начальное состояние системы, дает результат, с практической точки зрения (FAPP-подход Белла) неотличимый от того, что был бы получен с помощью такой вот вероятностной комбинации векторов состояния, то вероятностная комбинация достаточно хороша для описания мира и отыскивать U-эволюционировавший вектор состояния нужды нет.

Часто утверждают, что с такими же мерками можно подходить и к процедуре R — по крайней мере, на практике (все тот же FAPP). Двумя параграфами ниже мы попытаемся найти ответ на вопрос, можно ли в самом деле разрешить кажущийся U/R-парадокс одними лишь этими методами. Однако прежде я хотел бы рассказать подробнее о процедурах, принятых в стандартных FAPP-подходах к объяснению R-процесса (реального или кажущегося).

Ключевым в этих процедурах является математический объект, называемый матрицей плотности. Понятие матрицы плотности играет в квантовой теории весьма важную роль, и именно она, а не вектор состояния, лежит в основе большинства стандартных математических описаний процесса измерения. Центральную роль отводит матрице плотности и мой, менее традиционный, подход, особенно в том, что касается ее связи со стандартными FAPP-процедурами. По этой причине нам, к сожалению, придется углубиться в математический формализм квантовой теории несколько далее, нежели было необходимо прежде. Надеюсь, что читателя-неспециалиста такая перспектива не отпугнет. Даже при отсутствии полного понимания, мне думается, любому читателю будет полезно хотя бы бегло просматривать математические рассуждения по мере их появления — несомненно, со временем придет и осмысление. Это стало бы существенным подспорьем для понимания некоторых из дальнейших аргументов и тонкостей, сопровождающих поиски ответа на вопрос, почему нам действительно и насущно необходима усовершенствованная теория квантовой механики.

В отличие от отдельного единичного вектора состояния, матрицу плотности можно рассматривать как представление комбинации вероятностей нескольких возможных альтернативных векторов состояния. Говоря о «комбинации вероятностей», мы подразумеваем лишь, что существует некоторая неопределенность в отношении действительного состояния системы, при этом каждому из возможных альтернативных векторов состояния поставлена в соответствие некоторая вероятность — самая обычная классическая вероятность, выраженная самым обычным вещественным числом. Однако матрица плотности вносит в это описание некоторую путаницу (заложенную изначально), поскольку не отличает классические вероятности, фигурирующие в вышеупомянутой взвешенной вероятностной комбинации, от вероятностей квантовомеханических, возникающих в результате процедуры R. Дело в том, что операционными методами различить эти вероятности невозможно, поэтому в операционном же смысле вполне уместным представляется математическое описание (матрица плотности), которое такого различия не делает.

Как выглядит это математическое описание? Я не стану углубляться в ненужные здесь подробности, лишь вкратце изложу основные концепции. Идея матрицы плотности, вообще говоря, весьма изящна⁴³. Начать с того, что вместо каждого отдельного состояния |ψ〉 мы используем объект вида

⁴³ Эта идея была предложена в 1932 году выдающимся венгерско-американским математиком Джоном фон Нейманом. Ему же, главным образом, мы обязаны теорией, опиравшейся на первопроходческие труды Алана Тьюринга и положившей начало развитию электронных компьютеров. Кроме того, фон Нейман стоял у истоков теории игр (см. ссылку в примечании {46}) и, что ближе к теме нашего разговора, первым четко определил две квантовые процедуры, которые я обозначил здесь буквами «U» и «R».

Что означает такая запись? Не прибегая к точному математическому определению, которое для нас сейчас несущественно, можно сказать, что это выражение представляет собой особого рода «произведение» (точнее, вид тензорного произведения, см. §5.15) вектора состояния |ψ〉 и «комплексно сопряженного» ему вектора 〈ψ|. Вектор состояния |ψ〉 мы полагаем нормированным (т.е. 〈ψ|ψ〉 = 1); тогда выражение |ψ〉〈ψ| однозначно определяется физическим состоянием, представленным вектором |ψ〉 (поскольку не зависит от изменений фазового множителя |ψ〉 ↣ e^iθ|ψ〉, см. §5.10). В системе обозначений Дирака исходный вектор |ψ〉 называется «кет»-вектором, а соответствующий ему 〈ψ| — «бра»-вектором. Бра-вектор 〈ψ| и кет-вектор |φ〉 могут образовывать и скалярное произведение («bra-ket»⁴⁴):

⁴⁴ Созвучно английскому bracket «скобка». — Прим. перев.

с таким обозначением мы уже встречались в §5.12. Значением скалярного произведения является самое обычное комплексное число, тогда как тензорное произведение |ψ〉〈φ| в матрице плотности дает более сложный математический «объект» — элемент некоторого векторного пространства.

Перейти от непонятного «объекта» к обычному комплексному числу позволяет особая математическая операция, называемая вычислением следа (или суммы элементов главной диагонали) матрицы. Для простого выражения |ψ〉〈φ| эта операция сводится к простой перестановке членов, дающей в результате скалярное произведение:

В случае суммы членов «след» вычисляется линейно: например,

Я не стану в подробностях выводить все математические свойства таких объектов, как 〈ψ| и |ψ〉〈φ|, однако кое о чем упомянуть стоит. Во-первых, произведение |ψ〉〈φ| подчиняется тем же алгебраическим правилам, что перечислены в §5.15 для произведения |ψ〉|φ〉 (за исключением последнего, которое к данному случаю неприменимо):

Следует также отметить, что бра-вектор z'〈ψ| является комплексным сопряженным кет-вектора z|ψ〉 (поскольку число z' есть комплексное сопряженное комплексного числа z, см. §5.8), а сумма 〈ψ| + 〈χ| — комплексным сопряженным суммы |ψ〉 + |χ〉.

Допустим, нам нужно составить матрицу плотности, представляющую некоторую комбинацию вероятностей нормированных состояний, скажем, |α〉 и |β〉; вероятности, соответственно, равны a и b. Правильная матрица плотности в данном случае будет иметь вид

Для трех нормированных состояний |α〉, |β〉, |γ〉 с соответствующими вероятностями a, b, c имеем

и так далее. Из того, что вероятности всех альтернативных вариантов должны в сумме давать единицу, можно вывести важное свойство, справедливое для любой матрицы плотности:

Как же использовать матрицу плотности для вычисления вероятностей, результатов измерения? Рассмотрим сначала простой случай примитивного измерения. Спросим, находится ли система в физическом состоянии |ψ〉 (ДА) или в ином состоянии, ортогональном |ψ〉 (НЕТ). Само измерение представляет собой математический объект (так называемый проектор), очень похожий на матрицу плотности:

Вероятность p получения ответа ДА определяется из выражения

где произведение DE само представляет собой объект, подобный матрице плотности. Оно вычисляется с помощью несложных алгебраических правил, необходимо лишь соблюдать порядок «умножений». Например, для вышеприведенной двучленной суммы D = a|α〉〈α| + b|β〉〈β| имеем

Члены 〈α|ψ〉 и 〈β|ψ〉 могут «коммутировать» с другими выражениями, так как они представляют собой просто числа, порядок же таких «объектов», как |α〉 и 〈ψ| необходимо тщательно соблюдать. Далее получаем (учитывая, что zz' = |z²|, см. §5.8)

Напомню (см. §5.13), что величины |〈α|ψ〉|² и |〈β|ψ〉|² представляют собой квантовые вероятности соответствующих конечных состояний |α〉 и |β〉, тогда как a и b суть классические вклады в полную вероятность. Таким образом, в окончательном выражении квантовые и классические вероятности оказываются смешаны.

В случае более общего измерения типа «да/нет» рассуждение в целом не изменяется, только вместо определенного выше проектора «£» используется проектор более общего вида

где |ψ〉, |φ〉, …, |χ〉 — взаимно ортогональные нормированные состояния, заполняющие пространство ДА-состояний в гильбертовом пространстве. Как мы видим, проекторы обладают общим свойством

Вероятность получения ответа ДА при измерении, определяемом проектором E, системы с матрицей плотности D равна следу (DE) — в точности, как и в предыдущем примере.

Отметим важный факт: искомую вероятность можно вычислить, если нам всего-навсего известны матрица плотности и проектор, описывающий измерение. Нам не нужно знать, каким именно образом из индивидуальных состояний была составлена матрица плотности. Полная вероятность получается сама собой в виде соответствующей комбинации классических и квантовых вероятностей, а нам не приходится беспокоиться, какая ее часть откуда взялась.

Рассмотрим повнимательнее это любопытное переплетение классических и квантовых вероятностей в матрице плотности. Допустим, например, что у нас имеется частица со спином 1/2, и мы абсолютно не уверены, в каком спиновом состоянии (нормированном) она в данный момент пребывает — |↑〉 или |↓〉. Предположив, что соответствующие вероятности этих состояний равны 1/2 и 1/2, построим матрицу плотности

Простое вычисление показывает, что в точности такая же матрица плотности D получается в случае комбинации равных вероятностей (1/2 и 1/2) любых других ортогональных возможностей — скажем, состояний (нормированных) |→〉 и |←〉, где |→〉 = (|↑〉 + |↓〉)/√2 = (|↑〉 - |↓〉)/√2:

Допустим, мы решили измерять спин частицы в направлении «вверх», т.е. соответствующий проектор имеет вид

Тогда для вероятности получения ответа ДА, согласно первому описанию, находим

где мы полагаем 〈↑|↑〉 = 1 и 〈↓|↑〉 = 0 (поскольку состояния нормированы и ортогональны). Согласно второму описанию, находим

правое |→〉 и левое |←〉 состояния здесь не являются ни ортогональными, ни параллельными измеряемому состоянию |↑〉, т.е. на деле |〈→|↑〉| = |〈←|↑〉| = 1/√2.

Хотя полученные вероятности оказываются одинаковыми (как, собственно, и должно быть, поскольку одинаковы матрицы плотности), физические интерпретации этих двух описаний совершенно различны. Мы согласны с тем, что физическая «реальность» любой ситуации описывается некоторым вполне определенным вектором состояния, однако существует классическая неопределенность в отношении того, каким окажется этот вектор в действительности. В первом предложенном описании атом находится либо в состоянии |↑〉, либо в состоянии |↓〉, и мы не знаем, в каком из двух. Во втором описании — либо в состоянии |→〉, либо в состоянии |←〉, и мы снова не знаем, в каком именно. Когда мы в первом случае выполняем измерение с целью выяснить, не находится ли атом в состоянии |↑〉, мы имеем дело с самыми обычными классическими вероятностями: вероятность того, что атом находится в состоянии |↑〉, совершенно очевидно равна 1/2, и больше тут говорить не о чем. Когда мы задаем тот же вопрос во втором случае, измерению подвергается уже комбинация вероятностей состояний |→〉 и |←〉, и каждое из них вносит в полную вероятность свой классический вклад 1/2 помноженный на свои же квантовомеханический вклад 1/2, что дает в итоге 1/4 + 1/4 = 1/2. Как можно видеть, матрица плотности ухитряется сосчитать нам верную вероятность вне зависимости оттого, какие классические и квантовомеханические доли эту вероятность, по нашему предположению, составляют.

Приведенный выше пример является в некотором роде особым, поскольку так называемые «собственные значения» матрицы плотности в этом случае оказываются вырожденными (в силу того, что обе классические вероятности здесь — 1/2 и 1/2 — одинаковы); именно эта «особость» и позволяет нам составить более одного описания в комбинациях вероятностей ортогональных альтернатив. Впрочем, для наших рассуждений это ограничение несущественно. (А упомянул я о нем исключительно для того, чтобы избежать упреков в невежестве со стороны возможно читающих эти строки специалистов.) Всегда можно представить, что комбинация вероятностей охватывает гораздо большее число состояний, нежели просто набор взаимно ортогональных альтернатив. Например, в вышеописанной ситуации мы вполне могли бы составить очень сложные вероятностные комбинации множества возможных различных направлений оси спина. Иначе говоря, существует огромное количество совершенно различных способов представить одну и ту же матрицу плотности в виде комбинации вероятностей альтернативных состояний, и это верно для любых матриц плотности, а не только для тех, собственные значения которых вырожденны.