Глава 7

Распределение показателей

Использование некоторых статистических критериев связано с определенными предположениями о распределении оцениваемых этим критерием показателей. В частности, так называемые параметрические критерии зависят от определенных

предположений о распределении данных. Это, фактически, и является смыслом термина «параметрический»: статистический анализ зависит от валидности некоторых предположений в отношении «параметров» популяции, к которой принадлежит выборка. Рассмотренный выше t-критерий — пример параметрического критерия; критерий, используемый в дисперсионном анализе (ANOVA), которому посвящен следующий раздел, — еще один пример.

Если говорить более конкретно, в основе использования большинства параметрических критериев лежит два допущения. Первое состоит в том, что показатели распределены по закону нормального распределения. Второе — что дисперсия в сравниваемых группах одинакова. Второе допущение распространяется не на все случаи, но применимо ко многим, часто используемым параметрическим критериям, включая -критерий и F-критерий дисперсионного анализа.

Рис. 7.1. Примеры нормального и ненормального распределения

Мы уже обсуждали понятие дисперсии. Рассмотрим теперь необходимые условия нормального распределения. На рис. 7.1 (а) изображено нормальное распределение. Термин «нормальное распределение* используется в отношении классической колоколообразной кривой, к распределению, в котором среднее, медиана и мода совпадают, а показатели постепенно уменьшаются по мере удаления от этого центра. Рис. 7.1 (б) и (в), напротив, иллюстрируют распределение, явно отличное от нормального.

Между уровнем измерения и распределением есть определенная связь. Показатели номинальных и порядковых шкал не могут иметь нормальное распределение. Что касается номинальной шкалы, в ней нет количественных значений, и поэтому вопрос распределения по шкале количественных значений не стоит; все, что здесь возможно, это подсчет частоты случаев в каждой из категорий. Если говорить о порядковой шкале, то нам неизвестна разница между показателями, а следовательно, и их распределение. Кроме того, в абсолютно упорядоченной шкале (то есть при отсутствии совпадений) на каждый уровень шкалы приходится всего по одному случаю; поэтому теоретически распределение будет плоским. Таким образом, необходимым условием нормального распределения является наличие шкалы отношений или интервалов. Тем не менее это недостаточное условие, поскольку кривая показателей все еще может выглядеть так, как на рис. 7.1 (б) или (в). Однако по закону нормального распределения могут быть распределены только показатели, соответствующие определенным шкалам.

Мы только что рассмотрели предположения, лежащие в основе использования параметрических критериев t и F. Скажем теперь несколько слов об альтернативе

Логика проверки с использованием критерия хи-кнадрат: определение того, насколько полученные

значения частоты в каждой клетке таблицы отклоняются от ожидаемой частоты, если допустить

отсутствие различий между группами.

, „ (фактическая частота — ожидаемая частота)²

Формула: У¹= У----------------------------------------------------------'-

^л ожидаемая частота

Х²⁼ 23,42; уровень вероятности <0,01

Вывод: между мальчиками и девочками существуют значимые различия в предпочтении игрушек. Рис. 7.2. Иллюстрация аналитической процедуры с использованием критерия хи-кнадрат

параметрических критериев, после чего можно будет сделать еще несколько замечаний относительно выбора статистического показателя.

Как можно было ожидать, альтернативой параметрическим являются непараметрические критерии. Рисунок 7.2 служит иллюстрацией для широко используемого непараметрического критерия хи-квадрат. Гипотетические данные, представленные на рисунке, относятся к описанному ранее исследованию предпочтений игрушек; гипотетический результат состоит в том, что предпочтение определенных игрушек является функцией от пола¹. Хи-квадрат используется при наличии номинальных данных, таких, как данные, представленные на рисунке, для которых f-критерий не подходит. Для каждого из четырех уровней измерения — номинального, порядкового, интервального и уровня отношений — существуют свои непараметрические критерии. Таким образом, этот подход имеет более широкое применение, чем использование параметрических критериев. Кроме того, непараметрические показатели не связаны с предположениями о виде распределения, которые лежат в основе параметрических показателей; поэтому непараметрические критерии применимы к данным, построенным на шкалах интервалов и отношений, но не удовлетворяющим параметрическим допущениям. (Из работ, посвященных непараметрическим критериям, можно назвать следующие: Gibbons, 1993; Marasculio&McSweeney, 1977; Siegel&Castellan, 1988.)

По какому принципу осуществляется выбор между параметрическими и непараметрическими характеристиками? Как только что отмечалось, в ряде случаев выбора просто нет, поскольку единственный вариант — это непараметрический

Формулу, представленную на, рисунке, называют «определительной формулой* хи-квадрат. Есть также «калькуляционная формула»: равноценная в математическом смысле, но более удобная для проведения расчетов. Формулы многих статистических показателей также разделяются на определительные и калькуляционные.

критерий. В других случаях необходимо принять решение, и здесь приобретает значение несколько понятий. Рассмотрим два из них: мощность и устойчивость.

Термин мощность означает вероятность того, что определенный логический критерий исключит нуль-гипотезу тогда, когда ее действительно нужно исключить. Чем мощнее критерий, тем лучше он выявляет истинные различия и поэтому позволяет безошибочно отвергнуть нуль-гипотезу. Это понятие, вероятно, кажется знакомым, поскольку мощность — это еще один способ охарактеризовать ошибку второго рода. Чем мощнее критерий, тем меньше вероятность ошибки второго рода.

В некоторых случаях параметрические критерии мощнее аналогичных непараметрических критериев. По сути, это объясняется тем, что при расчете параметрического критерия используется больше информации о данных. Многие непараметрические критерии, например, ограничены порядковыми характеристиками данных, в частности, рангом показателей в сравниваемых выборках. При расчете f-критерия, напротив, задействуются фактические показатели и абсолютная разница между ними; поэтому иногда с его помощью выявляются различия, которые не смогли выявить непараметрические критерии. Следует добавить, что разница в мощности, как правило, невелика и обнаруживается преимущественно при изучений больших выборок. Кроме того, она не является чем-то неизбежным. Во многих ситуациях параметрические и непараметрические критерии обладают одинаковой мощностью. Если предположения, лежащие в основе параметрического критерия, серьезно нарушаются, непараметрические аналоги могут оказаться более мощными (см. Blair & Higgins, 1980).

Сказанное о параметрических предположениях подводит нас к понятию устойчивости. Устойчивость характеризует безопасность отклонений от допущений, лежащих в основе некоего критерия. Устойчивый критерий сравнительно нечувствителен к таким нарушениям, то есть, как правило, он позволяет сделать точные выводы о значимости даже тогда, когда допущения не соответствуют действительности. И t и f-критерии достаточно устойчивы. Именно поэтому в литературе можно часто встретить указание на их использование даже для данных, не отвечающих рассмотренным выше требованиям — данным рейтинговых шкал, к примеру, или данных, распределение которых заметно отличается от нормального, или при наличии неравной дисперсии у сравниваемых групп. Устойчивость не означает, что исследователь может, не задумываясь, применять параметрические критерии к любому типу данных; однако не следует и слишком поспешно отказываться от параметрических критериев лишь потому, что некое допущение, лежащее в их основе, нарушается. Возможно, стоит посоветоваться со специалистом: применим ли выбранный параметрический показатель к имеющимся данным?