Глава 5. Головоломки для умников и умниц

Головоломки с цифрами

Головоломки со взвешиванием

Разрезание

Задачки для математических викторин

Выборы

Ответ

PLV. Минимальное число кандидатов — 0. Теперь определим максимальное число кандидатов. При выборах в два тура оно будет с минимальным перевесом PLV над PLP в части округов, то есть когда PLV наберет 25 % + 1 человек, PLP — 25 %, а PLBN — 50 % — 1 человек. Тогда во второй тур выйдут PLV и PLBN, и PLV при поддержке PLP выиграет с перевесом в 1 голос.

Поскольку PLV имеет 15 % голосов, то 25 % может набрать в 60 % округов, то есть 0,6 х 999 = 599,4 округа. Получается, что PLV может победить максимум в 599 округах. В 600-м округе будет только (0,4 х 0,25) = 0,1 = 10 % избирателей, что недостаточно для прохождения во второй тур, но при достаточно большом числе избирателей в каждом округе должно хватить для обеспечения не 25 %, а 25 % + 1 человек, необходимых для победы в 599 округах.

PLP. Минимальное число кандидатов — 0. Как и в предыдущем случае, попробуем определить максимальное число кандидатов. В 599 округах PLP могут победить аналогично PLV, то есть, набрав в первом туре 25 % + 1 голос, а PLV наберут в этих округах ровно 25 % голосов. В остальных округах сторонников PLV практически не останется, зато сторонники PLP будут. Их количество от общего числа избирателей 999 округов (0,30 -0,25 х 599/999) = 0,14989. Чтобы выиграть в части из оставшихся 400 округов, им необходимо набрать там 50 % голосов. Это возможно в округах в количестве (999 х 0,14989/05) = 299,5.

Таким образом, PLP может победить в (599 + 299) = 898 округах, после чего останется не-задействовано (0,30 — 0,25 х 599/999 — 0,5 х 299/999) = 0,00045 = 0,045 % избирателей. В одном округе это составило бы 0,045 % х 999 = 44,9 %. Но там может быть только (0,15 х 999 — 0,25 х 599) = 0,1 = 10 % сторонников PLV. В таком случае в этом округе во второй тур выходят PLP и PLBN, и во втором туре PLP при поддержке PLV выигрывает. Получается, что PLP может выиграть в 899 округах.

PLBN. Случай с минимальным числом депутатов от PLBN похож на случай с максимальным числом депутатов от PLP. Другими словами, в части округов, где PLBN проигрывают, у нее 50 % — 1 голос, а у PLV и PLP в сумме 50 % + 1 человек.

В остальных округах у PLBN 100 % голосов. При этом PLBN победит в 100 округах. Максимальное количество округов, в которых может выиграть эта партия, – 999 (например, при равномерном распределении).