Элементы мысли[ 25 ]

VIII

Внечувственное мышление. — Общая характеристика внечувствен-ных продуктов. — 4 категории внечувственного. — Подготовительная почва. — Примеры. — Чувственные корни и эволюция внечувственного мышления. — Заключение.

Приступая к вопросу о внечувствеНном мышлении как наивысшей ступени развития мыслительной способности человека, считаю нужным оговориться заранее, что не касаюсь в исследовании области верования, т. е. сверхчувственного.

Предстоящая нам задача заключается и здесь в решении общего вопроса, происходит ли чувствительный перелом в мышлении человека при переходе его от продуктов со следами чувственного к объектам внечувственным или эволюция происходит прежними путями, как того требует теория Спенсера.

С этой целью мы опишем подготовительную почву, на которой возникает все внечувственное, и проследим историю его развития на типических примерах. Для того же, чтобы собрать воедино все внечувственное, распределим его в следующие 4 категории:

1) реальности внешние и реальности внутреннего мира человека, недоступные органам чувств;

2) реальности возможные;

3) логические построения, условно приложимые к реальности, и

4) логические построения вне всякой связи с действительностью.

1. Общая почва, подготовляющая возникновение внечув-ственного, заключается в тех едва ли не ежеминутных наблюдениях, которые ставят человека в возможность умозаключать о присутствии или существовании чего-либо, несмотря на то что оно невидимо, неслышимо и неосязаемо в данную минуту. Знакомый пригорок или лес, закрывающий от глаз родной дом, никому не мешает думать, что дом есть, хотя и невидим. В знакомом месте мы знаем не только то, чтб стоит в настоящую минуту перед глазами, но и все, что у нас за спиной. Знакомая, совершенно темная и беззвучная комната не представляет ничего чувственного, а между тем, войдя в нее, человек знает, где стоит стол, диван и стулья, и может даже пройти по комнате, не наткнувшись на мебель. Такое же значение имеет обширная категория ожиданий. Ими наполнена вся душа ребенка, когда он гуляет и производит разного рода эксперименты. Ожидаемое — это цель всех его действий; оно представляется существующим лишь уму, но в данную минуту не есть ни видимое, ни осязаемое. Все подобные переходы мыслей от испытанного прежде к несуществующим налицо соответствующим реальностям, повторяясь несчетное число раз, приучают человека мало-помалу считать реальности возможными и за пределами чувств.

2. Человек со всем, что происходит в его теле и на душе, чувствует себя реально существующим, в том же смысле, как признает реальным все видимое и осязаемое. А между тем акты сознания недоступны органам чувств. Стало быть, в нашу первую категорию недоступных органам чувств реальностей Должны быть отнесены все акты сознания, какого бы порядка они ни были.

Сюда же относятся внешние реальности, открываемые лишь при посредстве простых и научных опытов.

То, что обозначает слово даль, чувственно представимо лишь в очень ограниченных размерах — в пределах зрительного кругозора человека. Все же, лежащее за этим пределом, будучи реальным, доступно лишь мысли и получает определенный облик лишь в условном одеянии меры и числа (число верст, километров, миль и пр.). То же самое с понятием малое. В пределах видения оно останавливается на пылинке; но за нею лежат внечувственные реальности, открываемые лишь микроскопом. Еще уже предел чувствования в отношении всего совершающегося во времени. Продолжительность явлений мы чувствуем, ибо различаем в кратковременных из них начало, середину и конец. Но нет человека на свете, который различал бы непосредственно чувством степени продолжительности явлений за пределами секунд; а мыслим мы не только минутами, но годами и столетиями — и, конечно, опять в одеянии, чуждом чувствованию. Для восприятия электричества специального органа чувств у нас нет; но до «электричества», как особого вида энергии, человек додумался все-таки чувственным путем — из косвенных проявлений энергии, доступных чувству. Движение земли ни около оси, ни вокруг солнца не чувствуется, но оно несомненно реально.

Во вторую категорию относятся все внечувственные построения опытных наук (физики и химии) и сюда же, с некоторой оговоркой, могут быть причислены ходячие представления об основных душевных способностях человека.

Пока химик изучает состав (и прочие свойства) тел, разлагая их на составные элементы и соединяя последние в новые сочетания, а затем классифицирует весь материал в различных направлениях (т. е. по сходствам в том или другом отношении), он остается в чувственной области и являет всеми этими действиями самый наглядный пример ненамеренного ⁴⁵  употребления в дело изучения таких приемов, которые в области мысли зовутся логическими приемами мышления — анализом, синтезом и сравнением. Когда же химик переходит отсюда к рассуждениям о строении тел, то насколько в представлении о составе последних входят такие понятия, как частица, атом, атомность и пр., он уже мыслит внечувственными объектами. Частица И атом химика не суть реальности действительные, но реальности возможные, ибо понятия эти вытекают из опытов. Водяные волны, периодические качания маятника и звуковые колебания как факты, доступные чувству, предшествовали учению о световых колебаниях. Колебания эфира и световые волны суть внечувственные построения, но стоящие на пороге реальности — возможные реальности.

⁴⁵  Этим я хочу сказать, что химик, действуя таким образом, может и не знать, что действует по правилам мышления, излагаемым в логике.

В приведенных доселе примерах внечувственный характер объектов непосредственно понятен для ума вследствие определенности тех границ (т. е. известной из опыта ограниченности наших чувств), за которыми она начинается. Но что назвать реально возможным в психической области? Прежнее время, когда участие органов чувств в психике человека сводилось на скромную роль приношения душе ощущений света, тепла, звуков и пр., ответ на вопрос был прост: органы чувств дают душе сырой материал, а переработка его в идейном направлении есть дело психических факторов, и таковыми считаются в обыденной жизни доднесь основные способности души — память, соображение, чувство, ум и воля. С понятиями этими мы до такой степени сроднились и до такой степени привыкли объяснять психические проявления в себе самих, других людях и отчасти даже в животных (приписывая и последним в ограниченных размерах чувство, ум и даже род воли), что реальность их большинству людей кажется несомненной. Легко понять, однако, что все, подразумеваемое под названием специальные способности души, в самом счастливом случае имеет значение гипотез, созданных для объяснения известных циклов явлений, т. е. значение возможных реальностей.

Здесь я должен остановиться, чтобы ответить на вопрос как, т. е. деятельностью каких факторов создаются внечувственные объекты обеих категорий.

Реальность актов сознания чувствуется уже ребенком непосредственно, если они сопровождаются какими-либо приятными или неприятными ощущениями. В зрелом же возрасте, вслед за тем, как личные ряды расчленились на различные формы (помыслы и хотения), человек сравнивает их с явлениями внешнего мира, и тогда акты сознания представляются уму как явления, происходящие внутри нас и совершающиеся во времени. Стало быть, в основе наших представлений о разбираемых процессах лежит самонаблюдение, анализ и сравнение — то, что называется опытом в обширном смысле этого слова.

Участие опыта в возникновении представлений о внешних внечувственных реальностях можно выяснить следующим примером.

Если бы не было мореплавания, то дикие обитатели какого-нибудь очень маленького острова на океане едва ли додумались бы до расстояний, превышающих наш зрительный кругозор. Но и между ними мог найтись человек, способный завести мысль за эти пределы. Выходя из ежедневного опыта, что реальности (видимые вещи) очень часто закрываются от наших глаз посторонними предметами, и считая небесный свод родом занавеса, опускающегося в море, он мог бы вообразить существование реальностей и за этой занавеской. Для его ума эта воображаемая реальность была бы возможной реальностью, потому что вытекала логически из его посылок. Но дайте этому самому дикарю опыт передвижения на неопределенно далекие расстояния, и даль за пределами кругозора станет для него реальностью действительной. Вообще же внешние реальности за пределами чувств, возникая в уме из данных опыта, как предположения, становятся для ума действительной реальностью лишь при посредстве дальнейшего опыта.

Столь же ясно сказывается опыт и в теоретических построениях опытных наук и психологии Все это — случаи толкования явлений за отсутствием в наличности одного или нескольких реальных факторов. Ум, как говорится, прозревает необходимость их в явлении и создает таковые, но не зря, а в согласии с объясняемыми фактами. В этом смысле гипотезы всегда носят характер логических построений или выводов из известных посылок. Так, ум создан по шаблону причинной зависимости, как деятельное начало, объясняющее известный цикл явлений, служащих посылками; такое же значение имеют колебательные движения эфира в отношении световых явлений и пр.

В третью и четвертую категории относятся математические построения ума. На примерах из этой классической области внечувственного мышления я вынужден сделать очень длинную остановку, дабы выяснить общие условия приложимости математических знаний к реальностям и условиям полного разрыва их с действительностью.

Объекты математического мышления суть: число, протяженность и общая рамка для них — количество и количественные отношения.

Легко показать, что корни всех этих понятий лежат в чувствовании. Когда простолюдин выражает идею множественности реальным сравнением: «как песку на дне морском», в голове его, очевидно, есть уже все чувственные основы этого понятия. Для множественности однородных предметов существуют даже специальные имена — стая птиц, табун лошадей и пр., с элементом множества — одна птица, одна лошадь и пр. Большое и малое, высокое и низкое, широкое и узкое суть самые обыкновенные результаты сравнения сходных зрительных образов по величине в разных направлениях. Быстрое к медленное — обычная характеристика движений и всего совершающегося во времени — в свою очередь результаты сравнения.

Наконец, в словах сильный и слабый свет, сильный и слабый ветер — опять количественное сравнение. Словом, предвестники математических объектов лежат в повседневных чувственных наблюдениях; и сравнение предметов и явлений с количественной стороны столь же привычно человеку, как сравнение по сходству, представляя лишь частный случай последнего, так как количественно сопоставляются лишь сходные (однородные) предметы. Оттого я и не говорил до сих пор о сопоставлении объектов мысли количественной стороной.

Однако понятиям большое и малое, сильное и слабое и пр. соответствуют лишь неопределенные количественные разницы; полную определенность они получили лишь с тех пор, как были изобретены числа и меры. О вероятных чувственных источниках последних и пойдет теперь речь, в виде длинной вставки между знаками A и В.

Про наиболее первобытных дикарей рассказывают, что они не в силах додуматься сами до чисел свыше 4. Понять это до известной степени нетрудно, если принять во внимание, что числа хотя и имеют чувственные корни, но как система представляют продукт чисто символического мышления и возможны только при определенном распорядке обозначений. Одними глазами нельзя например сосчитать и 10 песчинок, расположенных в беспорядке, если не следовать в передвижении глаз какой-нибудь заранее принятой системе и не отмечать в уме периодические фиксации словами: раз, два, три и т. д. Легче, но едва ли возможно сосчитать и при посредстве периодических отодвиганий песчинок пальцем, если не сопровождать передвижений тем же знаками. Отчего это? Да просто потому, что считания в форме отдельных передвижений глаз или пальца, представляя однообразно повторяющиеся периоды более или менее длинного ряда, не могут зарегистровываться в памяти раздельно, а должны в силу сходства сливаться друг с другом. Дело другого рода, если каждое последующее передвижение отмечено для сознания новым знаком, например звуковым, тогда память сразу выводится из всякого затруднения, потому что каждый вновь появляющийся знак суммирует сосчитанное.

У многих из тех, кому не случалось думать о происхождении счета из чувственных опытов, в эту минуту невольно должна была мелькнуть в голове мысль, не родились ли уже самые числа из актов, похожих на действие считания предметов глазами, рукой или пальцем, но производившихся бесцельно. Вначале они могли представляться сознанию безразлично, то в виде каких-либо знаков, отмечающих отдельные периоды передвижений глаз или пальцев, то в виде изменчивых групп предметов, выделяемых при счете из множества ⁴⁶ ; и только мало-помалу из этого слитного чувственного комплекса выработалось, может быть, число со всей его определенностью приблизительно таким же образом, как вырабатывается мысль из слитного сложного ощущения.

⁴⁶  Так, если из кучи палочек выдвигать пальцем по одной и класть их параллельно друг другу, то первые три группы будут совсем похожи на первые три цифры римского счета.

Я не могу, конечно, иметь в виду написать историю постепенного развития чисел; но, с другой стороны, в качестве исследователя, выставившего тезисом опытное происхождение внечувственного, обязан указать те элементы человеческого сознания, из которых могли возникнуть числа.

Я сделаю это, и — даже несколько более — покажу именно, что в разных чувственных сторонах акта ходьбы, этого наипривычнейшего из явлений для человека, заключены элементы не только для построения чисел во всей их определенности, но также для измерения длин и небольших участков времени.

Прежде, однако, чем приступить к решению вопроса в этой форме, мне необходимо сказать несколько предварительных слов по поводу способности слуха оценивать протяженность времени.

Звук и время представляются сознанию как нечто тянущееся; в этом смысле непрерывные шумы во внешней природе служат, может быть, чувственными первообразами времени. Кроме того, уход различает очень тонко разные степени продолжительности коротких звуковых и пустых промежутков между ними или пауз. Тягучесть звуковых впечатлений и разные степени продолжительности звуков находят объяснение в устройстве слухового органа. Но как объяснить чувствование продолжительности пауз?

Нет сомнения, что способность последнего рода не могла воспитаться исключительно в школе слуха, потому что пауза во всяком случае соответствует периоду почти полного бездействия слухового снаряда. Другое дело, если бы пустые промежутки между звуками выполнялись, в силу устройства слухового органа, например, элементами мышечного чувства, с присущей им по природе тягучестью в сознании; тогда ясная чувственная мера для паузы была бы налицо. Но таких или подобных элементов до сих пор не открыто в ухе, и потому способность оценивать маленькие промежутки времени я

считаю принадлежащей первично периодическим движениям тела и по преимуществу актам ходьбы. Развившись здесь, она воспитала вторично слух.

Всякий знает из личного опыта, что мы способны различать непосредственно, т. е. только при помощи тягучего мышечного чувства, очень разнообразные степени продолжительности и быстроты в движениях собственного тела, начиная от мига, которым наш народ символизирует быстроту и вместе с тем самый краткий период времени по продолжительности. Легко понять, однако, что чувство быстроты и продолжительности как нечто определенное могло развиться всего удобнее на таких движениях, которые, будучи в жизни очень частыми, совершались бы с более или менее автоматической правильностью. Под такое требование подходят все вообще периодические сгибания и разгибания членов, т. е. рук и ног (самые простые и привычные движения тела), и всего более периодические акты ходьбы. «Медленная и скорая ходьба», с их валовыми различиями, сознаются, я думаю, уже детьми в очень раннем возрасте. Позднее, путем расчленения чувственного локомоторного ряда, в нем должны выясниться или обособиться моменты стояния ног на земле, которые для правой ноги всегда совпадают с перемещениями левой и наоборот. Тогда мерой продолжительности стояния правой ноги будет тягучее мышечное чувство в движущейся левой и обратно. Такое перемещение чувственной мерки стояния справа налево и слева направо вредить не может, потому что оба акта, т. е. стояние одной ноги и движение другой, при средней ходьбе почти совпадают во времени, притом же ходьба, в силу устройства тазобедренного сустава (см. учебники физиологии), не может не совершаться с автоматической правильностью. Когда расчленение достигло такой степени, из ходьбы выделяется шаг (промежуток между двумя соседними постановками ног на землю) как постоянно повторяющийся элемент пути и как постоянно повторяющийся элемент продолжительности. Ввиду же того, что каждое ставление ноги на землю сопровождается звуком, ходьба различных скоростей является для сознания периодическим рядом коротких звуков, промежутки которых наполнены тягучими элементами мышечного чувства. Вот, следовательно, та школа, в которой слух мог выучиться оценивать различную продолжительность интервалов в пределах ускорений или замедлений шага при ходьбе.

Заручившись этим выводом, я уже могу приступить к делу.

Ходьба может чувствоваться человеком просто, как правильно периодический ряд звуков ставления ног на пол с равными для слуха пустыми промежутками, вроде того как ночью слышится биение сердца. Если отметить хоть три последующих периода такого ряда какими-нибудь, но непременно разными, графическими знаками, и потом хоть через день случайно взглянуть на знаки, — что явится в голове при их виде? Первый знак мелькнет в голове в форме одиночного движения (шаг имеет зрительный образ), второй — двойного и т. д. Внесите теперь сюда только слуховую правильность периодов или слуховое равенство пауз, — и знаки по своему внутреннему содержанию делаются эквивалентными числам: 1,2,3. Но откуда же взяться этому чувству равенства? Главный источник его лежит в воспитателях слуха — элементах мышечного чувства, которые сопровождают каждый шаг и, будучи наиболее однородными для сознания между всеми ощущениями тела, чувствуются тождественными до неразли-чаемости. Если в ходьбе есть, в самом деле, для осознания что-либо столько же похожее друг на друга, как человек сам на себя, то это, конечно, мышечное чувство, сопровождающее каждый шаг. Оттого-то ходьба и может иметь для сознания форму, в которой на место элементов чувства являются пустые, но равные промежутки. Сходство, доведенное до этой степени, соответствует уже той степени равенства, которая делает из чисел величины однородные и строго определенные во взаимных отношениях ⁴⁷ . Значит, из элементов ходьбы действительно могут возникнуть определенные числа.

⁴⁷  Равенство разделяют на практическое, или чувственное, и на математическое. Разделение это верно и уместно, насколько одним выражается приближение, а другим предел. Но на практике для десятков миллионов людей числовое равенство (а следовательно, и определенность чисел) не превышает сходства вещи с самой собой.

Ходьба может чувствоваться далее как периодическое откладывание шагов по видимой длине проходимого человеком пространства, вроде, например, попеременной перестановки правой и левой ножки циркуля по длине измеряемой линии. При этом для глаз путь, проходимый человеком, представляется как цельная протяженность (как отстояние предмета, к которому человек имеет идти) и имеет значение измеряемой длины; а шаг, сознаваемый в виде постоянно повторяющегося элемента пути, получает смысл меры. Еще проще выясняется такое значение шага, если ноги оставляют по себе на почве следы. Тогда путь представляется разделенным шагами на равные участки. Отсюда переход к измерению длин шагами делается уже сам собой, если счет готов и шаги считаются. Так произошли вероятно ножные меры для измерения длин, а локти и пяди (может быть, позднее) для измерения высот.

Ходьба может чувствоваться, наконец, как звуковой ряд с постоянной продолжительностью пустых промежутков, тянущийся все время, пока человек проходит известное пространство. Тогда процесс рисуется в сознании совершенно в той же форме, как случай измерения продолжительности любого явления с определенным началом и концом во времени, при посредстве звукового счетчика (например, метронома). При этом постоянная продолжительность шага по самому смыслу дела соответствует периоду время измерительного снаряда, а ходьба как ряд будет соответствовать самому снаряду.

Пример ходьбы важен не только в том отношении, что он представляет единичный шаблон, на котором могли развиться числа, линейная мера и мера времени, но еще и потому, что сводя все три продукта на одного и того же деятеля — мышечное чувство, он дает возможность определить их физиологически.

Как счетчик равных периодов, мышечное чувство дает при помощи определенных обозначений ряд чисел.

Как счетчик периодически откладываемых равных длин, оно дает при тех же обозначениях определенные протяженности в пространстве.

Как счетчик периодически повторяющихся равных продолжительностей, оно дает, опять при том же обозначении, определенные протяженности во времени.

Сведение же всех трех продуктов на мышечное чувство в свою очередь представляет большую теоретическую важность. В первой части этого труда оно было выставлено как определитель предметных отношений в пространстве и времени. Близь, даль и высота предметов, пути и скорости их движений — все это продукты мышечного чувства. Теперь же мы видим, что, являясь в периодических движениях дробным, то же мышечное чувство становится измерителем или дробным анализатором пространства и времени.

Я, конечно, далек от мысли утверждать, что числа и обе меры развились именно из ходьбы. Я знаю, наоборот, очень хорошо, что употребительные дробные меры времени возникли из разделения крупных дневных периодов на равные части, а не последние были сведены на короткие условные единицы, заимствованные от продолжительности шага. Моя цель заключалась в том, чтобы показать читателю в возможно простой и удобопонятной форме, что все три продукта первоначально должны были развиться из каких-нибудь правильно периодических движений тела, с сопровождающим их мышечным чувством, а из каких именно, это уже вещь второстепенная. В пользу же того обстоятельства, что счет для своего развития требовал правильно периодических движений, я могу привести, помимо всего доселе сказанного, еще следующий последний довод.

Известно, что на практике счет из глубокой древности и по сие время прикладывается только к собраниям предметов однородных. Считают только деревья в лесу, овец, окна в дому, трубы; но я уверен, например, что очень немногие люди могут тотчас же ответить на вопрос, сколько у человека на голове выдающихся в зрительном отношении особенностей. Всякий знает, как дважды два, что у человека в голове 2 глаза, 1 нос, 1 рот и 2 уха; но до сей минуты многие (я сужу по себе) не знали, что всех особенностей, следовательно, шесть. Причина этому лежит, очевидно, глубже, чем в практических интересах счета, потому что считанием всех особенностей в предметах без разбора, если бы оно продолжалось из века в век, могли бы быть достигнуты, может быть, очень важные результаты. Причина заключается в том, что чем резче отличаются друг от друга перебираемые поочередно глазом или

рукой предметы, тем больше шансов вниманию быть отвлеченным от числа в сторону качества, тем счет невозможнее. С другой стороны, чем монотоннее влияния на человека извне, тем правильнее совершаются у него все периодические движения рук, ног и даже дыхания; но стоит какому-нибудь впечатлению внезапно возвыситься из-за среднего уровня, — и гармония периодических движений нарушена. Не указание ли это, что счет мог возникнуть только как гармонический ряд из гармонического же движения?

Теперь читателю должно быть понятно уже без дальнейших объяснений, что в превращении связей в пространстве и времени в количественные отношения сходство играет громадную роль. Превращение это совершается, как мы сейчас видели, при посредстве числа и меры, а в образовании последнего участвует анализ правильно периодических рядов по сходству звеньев, да еще такому полному, что сходство превращается в тождество.

Теперь обратимся к разыскиванию в математике других отзвуков действительности, делающих ее учение приложи-мым к реальностям.

В ряду человеческих знаний математика стоит особняком и представляет для ума следующую поразительную особенность: обрабатывая свой внечувственный материал обычными умственными приемами исследования — анализом, синтезом и сравнением, она в отличие от опытных наук приходит к непогрешимым выводам: эти дают относительные, а математика — абсолютные истины.

Первым залогом непогрешимости математического мышления считается то, что исходным пунктом рассуждений и действий в этой науке служат аксиомы. Так как большинство последних для людей образованных самоочевидны, т. е. понимаются сразу, без всяких рассуждений и толкований, то им приписывалось внеопытное (или, что то же, внечувственное) происхождение, а способ их восприятий или понимания считался непосредственным, интуитивным.

Чтобы избежать длинных рассуждений по этому предмету, обращаю внимание читателя на следующее. Все самоочевидные истины, во-первых, крайне элементарны, во-вторых, всегда представляют с виду сильно обобщенные выводы, встречающие приложение не только в науке, но и в практической жизни на каждом шагу. Такая приложимость их к опыту, рядом с отсутствием понимания многих аксиом детьми в раннем возрасте, заставляет уже сильно сомневаться в их внеопытном происхождении, хотя и не может, конечно, опровергнуть этой мысли абсолютно. Но вот что ее опровергает. Все признают, что интуиция равнозначна выводу, делаемому как будто без посылок; на этом основании Льюис характеризует ее чрезвычайно метко словами интуиция есть организованное суждение, желая этим выразить ее сходство с сильно привычным движением, сделавшимся автоматическим, где механизм процесса заучения скрыт быстротой и легкостью действия. Я, с своей стороны, могу привести аналогию еще более подходящую, именно unbewusste Schlusse Гелъмгольца при восприятии пространственных отношений детьми в такую пору, когда они еле начинают ходить, не только что рассуждать. Аналогия последних актов с интуициями до такой степени полная, что я, не колеблясь, утверждаю психологическую однозначность интуитивного понимания такой, например, аксиомы, как «часть всегда меньше своего целого», с пониманием следующего предложения: «чтобы видеть предмет, стоящий справа, нужно всегда повернуть или голову, или глаза направо». А между тем кто же станет сомневаться, что последняя из истин, будучи столь же самоочевидной, всеобщей и необходимой, как первая, имеет чувственное происхождение? Недоказываемая в геометрии аксиома «прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками» имеет опять несомненно чувственные корни. Смотря на окружающие нас предметы, мы ясно чувствуем разницу (со стороны положения) между теми, которые стоят прямо перед нами, и всеми прочими. Мы привыкли относить положение видимых предметов, не исключая и песчинки, к фронту нашего тела и к положению на этом фронте мысленного циклопического глаза на переносье (нам кажется, что мы смотрим не двумя глазами, а одним, лежащим между ними). Под словами «прямо передо мной» подразумевается прямая линия и она же подразумевается в акте ходьбы. Если со стороны местности нет препятствий, то мы идем к намеченному предмету всегда по прямой линии, не задаваясь никакими геометрическими соображениями, а по существующему в нашем теле согласованию перемещения ног с фронтом тела и направлением видения — зрительной осью циклопического глаза. Результатом таких жизненных опытов является в уме даже простолюдина следующая самоочевидная для него истина: если бы можно было идти к такому-то предмету прямо, то было бы совсем близко, а то приходится колесить. Далее, в действиях математика на каждом шагу подразумевается как непреложная истина мысль, что одно и то же действие, будучи приложено к величинам однородным, дает результаты, однородные между собой, в приложении к сходным — сходные и т. д. Такие выводы по аналогии целиком взяты из действительности. Если бы сапожник не был непреложно убежден из опытов, что по данной колодке можно шить сапоги равной меры, а по разным сходным колодкам сходные же вещи другой меры, то он отказался бы от своего ремесла.

Другой и самый главный залог непогрешимости математического мышления (при этом прошу читателя держать пока в голове числа и арифметические действия над ними) ⁴⁸  заключается в идеальной однородности, простоте и неизменяемости по природе того материала, из которого выстроены математические величины. Благодаря таким свойствам материала все действия над ним (по смыслу те же самые, что приписаны выше химику) — анализ, синтез и сравнение — достигают идеальной простоты и дают абсолютно верные результаты. Так, достоверность вывода «дважды два — четыре» более достоверности наступления завтрашнего дня после сегодняшнего, — первая абсолютна, а за достоверность второго вывода говорит лишь опыт людей за многие тысячи лет против одного гадательного завтра. По тем же причинам степени сходств и разниц в математике от тождества к противоположности вполне определенны. Более крайней и простой противоположности, чем «положительное» и «отрицательное» математики, нет ничего на свете.

⁴⁸  Памятуя, однако, что на последующих ступенях развития математической мысли количество меняет лишь одеяние: вместо знаков — чисел, употребляется общий для них знак — буква.

Все только что перечисленные свойства математических величин, выражающиеся словами: однородность, неизменяемость по природе под влиянием действий, определенность действий и результатов, определенность сходств и разниц, очевидно, заимствованы от фактов действительности, с тем лишь различием от последних, что в математических величинах все эти свойства сведены, так сказать, до идеала, а в реальных вещах они представляют лишь приближения к идеалу. Кроме того, вся характеристика количества взята мной от чисел и арифметических действий над ними; а арифметика усваивается в очень ранней юности, т. е. почвой, воспитавшейся исключительно на реальностях.

Однако мысль математики не останавливается на этой первоначальной ступени развития, и от конечного она переходит к бесконечному, от неизменного к изменяющемуся.

Если на бумаге провести черту карандашом или пером в каком-либо направлении, то под микроскопом, при достаточно сильном увеличении, контуры черты никогда не окажутся ровными, а всегда мелко зазубренными. Причина понятна. Первое прикосновение пера или карандаша к бумаге дает точку некоторых размеров; следовательно, передвижению их должен соответствовать непрерывный ряд точек, тем более зернистый, чем точка крупнее и передвижение ее медленнее. Еще большая неправильность черты получилась бы в случае, если бы поступательное движение точки было связано с вращениями пишущего снаряда около оси и размеры точки не во всех направлениях были одинаковы. Дело другого рода, если вообразить себе точку, не имеющую размеров, — тогда она могла бы двигаться с какой угодно медленностью и с какими угодно вращениями, — путь ее во всяком случае будет линией, однородной по длине, без размеров в толщину. Такая точка будет математической точкой, а путь ее передвижения — математической линией. То и другое более чем внечувствен-но — то, что называется фикцией, реальной невозможностью;

но зато отношение между точкой и линией стало строго определенным со стороны пространственной. Пример этот показывает, какими простыми рассуждениями и опытами можно дойти до фикций, когда дело идет о крайне простых отношениях. С другой стороны, легко показать, что обе фикции приложимы к реальностям, что опять говорит в пользу происхождения их из реальностей. Так, центр тяжести тела есть понятие, стоящее уже на границе реальности, а между тем таким центром может быть только математическая точка. Другой пример. Столяр, измеряя размеры какой-либо поделки ниткой, очень ясно понимает, что тут дело не в толщине нитки, а только в ее длине. Представление о контуре предмета тоже эквивалентно математической линии: глаз видит контур как границу между фигурой тела и окружающим ровным фоном; но куда отнести эту границу как линию: к веществу тела или к окружающему фону? Одна математическая линия, без размера в толщину, выводит ум из затруднения.

Для перехода количества в область бесконечного возьмем такой простой пример.

Из 1 можно сделать 2 прибавлением к 1 несметного числа несметно малых дробей.

Как ни проста эта мысль, но за нею скрывается уже очень многое:

1) беспредельная с виду дробность величин, не доходящая, однако, до нуля

2) нуль как предел дробимости — фикция, эквивалентная по смыслу математической точке, — эта в приложении к протяженностям, та — к количествам;

3) беспредельное нарастание величин в сторону фиктивного предела «бесконечность», с ее знаком °°.

Понятия эти составляют исходные пункты высшего математического анализа; и как они ни отвлеченны, в них все еще слышится отзвук действительности. Так, мировое пространство представляется уму беспредельным; абсолютный 0° температуры есть возможная реальность; нуль давления в барометрической пустоте есть реальность действительная.

Вот, далее, пример математической зависимости, вполне эквивалентный тому, что зовется в обыденной жизни причинной зависимостью.

Если х обозначает какую-либо неизвестную величину и она связана каким-либо образом с другой известной я, то обе вместе представляют новую неизвестную у; например, а +х = у Если при этом ставить на место х какие-либо известные величины в одеянии букв или чисел, или, как говорится, считать ж величиной переменной, то каждой определенной перемене х будет соответствовать определенная перемена всей суммы, т. е. у: поэтому и говорят, что в данном уравнении х представляет независимую переменную, а у — зависимую. Первая, очевидно, играет роль причины, а у — роль эффекта; тем более что и здесь связь между величинами х-у, как между причиной и эффектом, роковая. Таков исходный пункт учения о функциях; корни его, очевидно, лежат в арифметике; а дальнейшее развитие сводится в сущности на изучение отношений между зависимыми и независимыми переменными, когда последние изменяются непрерывно с различной быстротой. При этом, по самому смыслу факта непрерывного изменения, изучению должны подлежать мгновенные формы изменений — величины, приближающиеся к нулю. Последняя мысль лежит опять в основе высшего анализа и представляет самоочевидную истину; корни же ее лежат, очевидно, в таких чувственных наблюдениях, как течение воды или сякое вообще видимое движение, и в простых опытах вроде следующего. Ряд близких несоприкасающихся точек кажется с известного расстояния сплошной линией; следовательно, перемещение пера, произведшего эту линию, состояло из ряда отдельных коротких фаз, а результат получился такой, словно передвижение было непрерывно. Значит, разница между математической и чувственной непрерывностью следующая: та, по ограниченности наших чувств, может быть лишь кажущейся, а та абсолютна.

Все доселе перечисленное составляет, так сказать, фон математического мышления; и на нем, рядом с построениями, носящими более или менее ясный отзвук действительности, или такими, которые по этому самому условно приложимы к реальностям (как идеальный образец к соответствующему приближению), на каждом шагу встречаются полные разрывы с действительностью. Произведениям из трех множителей, величинам в 3-й степени и функциям о двух независимых переменных соответствуют еще отвлечения от реальностей — объемы; а соответственные выражения кверху от этих пределов уже не имеют никаких основ в действительности. Отрицательные величины условно приложимы к реальностям, а так называемые мнимые величины представляют количественные невозможности — не величины, а формы. А между тем в анализе все такие построения являются равноправными членами с остальными, т. е. математик, оперируя над ними обычными для прочих величин способами, получает верные результаты.

По смыслу все такие построения суть продукты обычных в математике операций над знаками количеств — над формами, независимо от содержания. Имея дело с абстрактами, математик неизбежно приводится к мышлению формами, т. е. внешними изображениями абстрактов; непогрешимость же его выводов при таком условии определяется тем, что в математике (и только здесь) форма вполне соответствует содержанию. Так, в алгебре одним простым знаком очень часто выражается величина, действие над нею и результат; в случае же, если результат неизобразим коротким знаком, его изображает так называемая формула.

Отсюда уже становится понятно происхождение всех вообще разрывов математики с действительностью, в основе их лежит размножение форм по аналогии и путем обобщения.

Совокупность всех таких построений в математике и была мной отнесена в четвертую категорию внечувственных объектов, под именем логических построений без реальной подкладки.

Как же отнестись к таким проявлениям человеческого ума? Представляют ли они наивысшую инстанцию мышления, создавая продукты, заходящие за всякие пределы опыта, и дают ли право думать, что человеческая мысль способна вообще, т. е. не в одной области количественных отношении, заходить безнаказанно за эти пределы, путем логических или, как часто говорится, путем умозрения? Отрицательный ответ на первый вопрос очень прост и ясен: все трансцендентные, т. е. превосходящие опыт, математические построения производятся, как уже было сказано, обычными логическими операциями, знаками, следовательно, не открывают никаких новых особенностей в мыслительной способности человека. Что же касается второго вопроса, ответ на него всего естественнее искать в истории развития (именно в прогрессировании) опытных знаний, так как именно здесь творческая мощь человеческого ума выступает за все последнее столетие с особенной яркостью.

Опытное знание, двигаясь вперед, открывает, как говорится, все новые и новые горизонты — ряды загадок, вытекших из опыта, но лежащих за его пределами. К счастью для человечества, ум не останавливается на пороге опыта и идет дальше, в область загадок. Одни из них оказываются разрешимыми лишь отчасти или условно; другие разрешимы тотчас же и вполне наличными средствами особенно искусного исследователя, а некоторые, будучи вполне понятными для ума, не могут быть разрешены опытом только в данную минуту. Так, Леееррье открыл, как известно, Нептуна не телескопом, а путем логических построений по данным астрономического опыта. Мысли о значении среды в так называемом «действии на расстоянии» были в уме Фарадея делом логических требований из его опытов, прежде чем были признаны другими, и вошли необходимым звеном в объяснение опытных фактов. Аналогия между светом и электричеством была в уме Максвелла ранее, чем подтвердившие ее опыты Герца. В сущности, такие факты встречаются в области открытий едва ли не на каждом шагу, потому что предшествием открытию всегда служит какое-либо соображение, вызванное не испытанным еще сопоставлением известных фактов (например, мысли Роберта Майера, из которых возникло учение о сохранении энергии). Новое неожиданное открытие представляется лишь публике в таком виде, словно оно вышло из ума изобретателя без предвестников как deus ex machina; для самого изобретателя и всех равных ему по образованию это лишь новая сторона известного.

Значит, путем логических построений можно действительно додуматься до новых истин (положительных знаний), но лишь при условии, если в основании их лежат, как посылки к умозаключениям, известные факты. Но не то ли же самое происходит, в сущности, и в уме математика, когда он додумывается до новых трансцендентных положений? Ведь и здесь основанием для вывода служит какое-либо новое сопоставление уже известных математику данных из накопленного им математического опыта.

То же в сущности происходит и при условном решении опытных загадок, т. е. при построении гипотез опытных наук. Достоверностью пользуются, как известно, только те из них, которые стоят на пороге объясняемых положительных фактов и где дополнительные гипотетические члены, имея значение логических выводов из определенных посылок, облечены в реальную форму, т. е. не суть реальности действительные, а реальности возможные.

Итак, подобно тому, как в обыденной жизни за пределами накопленного человеком опыта лежит для его мысли область возможного и действия человека дают ценные результаты лишь при условии, если при движении вперед они направляют усилия в сторону для него возможного, так и в деле познания почвой для истинного прогресса знаний служит лишь возможное для данного времени. К сожалению, и там и здесь рядом с действительной возможностью лежат возможности лишь кажущиеся. Так, в области знаний мысль человеческая привыкла с глубокой древности забегать крайне далеко за пределы опыта и считать возможными даже такие проблемы, как объединение всех наличных знаний данного времени, или начало, цели и конечные причины всего существующего.

Нужно ли говорить, что забегание мысли в такие отдаленные сферы соответствует в самом счастливом случае витанию ее в области загадок, без всякой возможности доказать основательность делаемых выводов, так как твердых критериев для различения действительной возможности от кажущейся вне проверочного научного опыта нет; а такие опыты здесь невозможны.

Здесь я остановлюсь, чтобы резюмировать все доселе сказанное по поводу развития внечувственных продуктов из опытных данных.

Расчленением субъективных и объективных рядов со стороны условий чувствования и действия человек приучается к мысли считать реальным не только то, что непосредственно доступно чувству. Для выводимых этим путем нечувственных продуктов есть на обыденном языке даже родовое имя — возможность. Сумма всех опытных возможностей составляет для всякого человека ту почву, на которой он строит внечувственное.

Продолженным действием дробления, в применении к внешним телам, он прямо достигает продуктов, превышающих чувства. Убеждение в раздельном существовании каждой невидимой пылинки основано у всякого человека на опытном знании фактов (вывод из сопоставления сходных рядов), что по мере продолжения действия дробления увеличивается дробность раздельных частей.

Продолженным действием сочетания в применении к внешним телам он доходит до познания факта (опять вывод из сопоставления сходных рядов), что по мере продолжения действия сочетания нарастает постоянно множественность собираемых частей и постоянно увеличивается протяженность группы. При этом в голове некоторых уже мелькают размеры, превосходящие чувства, как неизбежное последствие продолжаемого и продолжаемого сочетания, но мелькают неясно, как всякая неиспытанная возможность.

Из тех же, может быть, опытов продолженного сочетания над внешними телами, может быть, также из анализа периодических актов ходьбы, но во всяком случае из анализа каких-нибудь очень правильных периодических движений собственного тела возникают числа и меры. Раньше или позже первые приводятся в систему и облекаются в графические знаки, а для мер устраиваются шаблоны.

Когда из числа и мер родится ясное представление о равных частях в целом, числа и меры могут дробиться и увеличиваться в каких угодно пределах, и так как исходные величины определенны, то такими же должны быть и производные меры.

Теперь внечувственные продукты дробления и сочетания внешних предметов могут уже получить для человеческого сознания хотя условный, но совершенно определенный, т. е. понятный, облик. Так, знаки У₂ миллиметра, '/₁₀₀ миллиметра и 1/000000 миллиметра по смыслу понятны в одинаковой степени, а между тем первому из них соответствуют размеры, видимые простым глазом; ¹/_т миллиметра — размеры, видимые только в микроскоп; a 1/_1000000 миллиметра представляют длину, недоступную никакому микроскопу. Первая величина для всех людей чувственна; вторая для простолюдина внечувственна, но ее ему можно растолковать, показавши миллиметр; а третья — внечувственна для всех людей в настоящее время, но сделается, может быть, чувственной лет через 100. Земной шар, продолжительность в 30 сек., тем более в час, день, неделю и т. д., как нечто чувственное, непредставимы; но символы «шар с поперечником в миллиард верст» (который, конечно, больше земного шара) или «миллиардолетие» понятны не менее, чем знаки «биллиардный шар» и «минута».

Такова мощь в определенности числа и меры, когда они прилагаются к опытным возможностям как продукты продолженного расчленения и синтеза. При помощи их границы возможных реальностей отодвинуты современной физикой в такие пределы, для которых в счислении нет чисел. Так, в капле воды физик, выходя из данных опыта, насчитывает до 10²⁶ или 100 000 000 000 000 000 000 000 000 частичек!

С виду менее поразительны, но в сущности еще более грандиозны и более богаты последствиями заслуги числа и меры в деле классификации и обобщения.

Начало их приложения в этом направлении мы уже видели, когда речь шла о превращении или обобщении множества и протяженностей в пространстве и времени в количество. Только что сказанные три слова коротко произносятся, но за ними скрывается необозримое число сочетаний и исследований, групп, рядов, форм и образов. За одними пространственными протяженностями лежат все мыслимые формы кривых линий, поверхностей, площадей с самыми разнообразными очертаниями и объемов. Понятно_, следовательно, как велика должна быть обобщающая мощь числа и меры, если людям удалось выработать хоть нормы для подведения такого материала под формулу количества.

Обобщающая мощь числа и меры дает себя чувствовать на каждом шагу и в опытных науках, как физика и химия. В этих областях измерение есть не только орудие количественного анализа фактов, но вместе с тем средство их классификации, притом средство наиболее общего характера, т. е. такое, при посредстве которого обе науки достигают самых общих своих выводов или теорий.

Таким образом, переход мысли из опытной области во внечувственную совершается путем продолженного анализа, продолженного синтеза и продолженного обобщения.

В этом смысле она составляет естественное продолжение предшествующей фазы развития, не отличающееся от нее по приемам, а следовательно, и процессам мышления.

Но она отличается от нее существенно по содержанию. Если предшествующая фаза символизировала реальность, то эта символизирует реальную — но, к сожалению, очень часто и фиктивную — возможность.