Родился в Бостоне, Массачусетс, в зажиточной еврейской семье. Его отец, Джордж Альперт, был одним из преуспевающих адвокатов Бостона, владельцем железной дороги и основателем Брэндейского университета. У Ричарда Альперта есть двое старших братьев.
Ричард Альперт получил степень бакалавра искусств Туфтского университета, степень магистра Веслианского университета и степень доктора философии Стэнфордского университета. С 1958 по 1963 год преподавал и проводил исследования в Департаменте социальных отношений Гарвардского университета. В Гарварде, Ричард Альперт тесно сотрудничал с Тимоти Лири. Вместе они провели множество экспериментов с эффектами ЛСД и других психоделиков, из-за чего в 1963 году оба были уволены из университета. Позднее, они продолжили эксперименты в стенах частного особняка в Миллбруке. Вместе с Тимоти Лири и Ральфом Метцнером Альперт является соавтором книги «Психоделический опыт» — описания изменённых состояний сознания на основе тибетской «Книги мёртвых».
В 1967 году Альперт отправился в Индию, где занялся практикой медитации и йоги. После встречи с Ним Кароли Бабой, индусским садху из Уттар-Прадеш, он изменил своё имя на Рам Дасс, что на санскрите означает «слуга Рамы». Начиная с 1968 года, экспериментировал с различными духовными практиками, такими как индуизм, йога и суфизм. Книга Рам Дасса «Будь здесь и сейчас» («Be Here Now») стала бестселлером и привлекла к нему общественное внимание в 1971 году.
По возвращении в США Альперт основал несколько организаций, посвящённых продвижению духовного роста и расширению сознания. В 1974 году Рам Дасс создал «Hanuman Foundation» («Фонд Хануман»), в котором было развито много проектов, включая «проект тюремного ашрама», целью которого являлась помощь заключённым в духовном росте на протяжении срока лишения свободы, и «проект Жизнь-смерть», который обеспечивает поддержку сознательной смерти умирающих.
Рам Дасс также является соучредителем и членом правления Seva Foundation — международной благотворительной организации, посвященной уменьшению страдания в мире. «Seva» поддерживает программы, помогающие, кроме всего прочего, излечивать слепых в Индии и Непале, восстанавливать сельскохозяйственную жизнь обедневших сельских жителей Гватемалы, решать проблемы североамериканских индейцев, и привлекать внимание к состоянию экологии в США.
В феврале 1997 года Рам Дасс перенёс инсульт, который парализовал правую сторону его тела и затронул его способность говорить. Несмотря на это, Рам Дасс и сегодня продолжает преподавать, писать и читать лекции.